Control Theory

拉普拉斯变换 (Laplace Transform) 概念

定义 (单边拉普拉斯变换) 设 $f(t)$ 为定义在 $t\ge 0$ 上的实函数。其单边拉普拉斯变换定义为：

$$F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}\triangleq {\int }_{0^{-}}^{\infty }f(t)e^{-st}dt$$

• $s\in \mathbb{C}$：复频率变量，$s=\sigma +j\omega$。
• $0^{-}$ 下限：积分下限取 $0^{-}$ 是为了包含 $t=0$ 处的狄拉克 $\delta$ 函数（冲击）或其导数。

定义 (收敛域, ROC)：使得积分 ${\int }_{0^{-}}^{\infty }|f(t)e^{-st}|dt<\infty$ 收敛的 $s$ 值集合，称为收敛域 (Region of Convergence)。通常形式为 $\text{Re}(s)>{\sigma }_0$，其中 ${\sigma }_0$ 为收敛横坐标。

充分条件 (存在性)：若 $f(t)$ 满足以下条件，则 $\mathcal{L}\{f(t)\}$ 在 $\text{Re}(s)>\alpha$ 处绝对收敛。

• 在任意有限区间上分段连续；
• 具有指数阶 (Exponential order)，即存在常数 $M,\alpha >0$，使得 $|f(t)|\le M{e}^{\alpha t}$ 对所有 $t$ 成立；

拉普拉斯变换的核心性质

微分性质 (Differentiation)：

$$\mathcal{L}\{f^{\prime }(t)\}=sF(s)-f(0^{-})$$

推广至 $n$ 阶：

$$\mathcal{L}\{f^{(n)}(t)\}=s^{n}F(s)-\sum _{k=1}^n{s}^{n-k}{f}^{(k-1)}(0^{-})$$

证明：利用分部积分法 (Integration by parts)，令 $u=e^{-st},dv=f^{\prime }(t)dt$，则 $du=-s{e}^{-st}dt,v=f(t)$。

$$\begin{array}{rl}\mathcal{L}\{f^{\prime }(t)\}& ={\int }_{0^{-}}^{\infty }{f}^{\prime }(t)e^{-st}dt\\ & ={\left[f(t)e^{-st}\right]}_{0^{-}}^{\infty }-{\int }_{0^{-}}^{\infty }f(t)(-s{e}^{-st})dt\\ & =\left(\underset{t\to \infty }{\lim }f(t)e^{-st}-f(0^{-})\right)+s{\int }_{0^{-}}^{\infty }f(t)e^{-st}dt\end{array}$$

在 ROC 内，$\text{Re}(s)$ 足够大使得 ${\lim }_{t\to \infty }f(t)e^{-st}=0$。

$$\mathcal{L}\{f^{\prime }(t)\}=-f(0^{-})+sF(s)$$

积分性质 (Integration)

$$\mathcal{L}\left\{{\int }_{0^{-}}^{t}f(\tau )d\tau \right\}=\frac{1}{s}F(s)$$

证明：设 $g(t)={\int }_{0^{-}}^{t}f(\tau )d\tau$，则 $g^{\prime }(t)=f(t)$ 且 $g(0^{-})=0$。 根据微分性质：

$$\mathcal{L}\{g^{\prime }(t)\}=sG(s)-g(0^{-})⟹\mathcal{L}\{f(t)\}=sG(s)$$

$$G(s)=\frac{1}{s}F(s)$$

卷积定理 (Convolution Theorem)：时域卷积对应频域乘积。这是 LTI 系统 $Y(s)=G(s)U(s)$ 的理论基础。

$$\mathcal{L}\{(f\ast g)(t)\}=F(s)G(s)$$

其中 $(f\ast g)(t)\triangleq {\int }_0^{t}f(\tau )g(t-\tau )d\tau$。

证明：

$$\begin{array}{rl}\mathcal{L}\{f\ast g\}& ={\int }_0^{\infty }\left({\int }_0^{t}f(\tau )g(t-\tau )d\tau \right)e^{-st}dt\end{array}$$