Control Theory

拉普拉斯变换 (Laplace Transform) 概念

定义 (单边拉普拉斯变换) 设 $f(t)$ 为定义在 $t\ge 0$ 上的实函数。其单边拉普拉斯变换定义为：

$$F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}\triangleq {\int }_{0^{-}}^{\infty }f(t)e^{-st}dt$$

• $s\in \mathbb{C}$：复频率变量，$s=\sigma +j\omega$。
• $0^{-}$ 下限：积分下限取 $0^{-}$ 是为了包含 $t=0$ 处的狄拉克 $\delta$ 函数（冲击）或其导数。

定义 (收敛域, ROC)：使得积分 ${\int }_{0^{-}}^{\infty }|f(t)e^{-st}|dt<\infty$ 收敛的 $s$ 值集合，称为收敛域 (Region of Convergence)。通常形式为 $\text{Re}(s)>{\sigma }_0$，其中 ${\sigma }_0$ 为收敛横坐标。

充分条件 (存在性)：若 $f(t)$ 满足以下条件，则 $\mathcal{L}\{f(t)\}$ 在 $\text{Re}(s)>\alpha$ 处绝对收敛。

• 在任意有限区间上分段连续；
• 具有指数阶 (Exponential order)，即存在常数 $M,\alpha >0$，使得 $|f(t)|\le M{e}^{\alpha t}$ 对所有 $t$ 成立；

拉普拉斯变换的核心性质

微分性质 (Differentiation)：

$$\mathcal{L}\{f^{\prime }(t)\}=sF(s)-f(0^{-})$$

推广至 $n$ 阶：

$$\mathcal{L}\{f^{(n)}(t)\}=s^{n}F(s)-\sum _{k=1}^n{s}^{n-k}{f}^{(k-1)}(0^{-})$$

证明：利用分部积分法 (Integration by parts)，令 $u=e^{-st},dv=f^{\prime }(t)dt$，则 $du=-s{e}^{-st}dt,v=f(t)$。

$$\begin{array}{rl}\mathcal{L}\{f^{\prime }(t)\}& ={\int }_{0^{-}}^{\infty }{f}^{\prime }(t)e^{-st}dt\\ & ={\left[f(t)e^{-st}\right]}_{0^{-}}^{\infty }-{\int }_{0^{-}}^{\infty }f(t)(-s{e}^{-st})dt\\ & =\left(\underset{t\to \infty }{\lim }f(t)e^{-st}-f(0^{-})\right)+s{\int }_{0^{-}}^{\infty }f(t)e^{-st}dt\end{array}$$

在 ROC 内，$\text{Re}(s)$ 足够大使得 ${\lim }_{t\to \infty }f(t)e^{-st}=0$。

$$\mathcal{L}\{f^{\prime }(t)\}=-f(0^{-})+sF(s)$$

积分性质 (Integration)

$$\mathcal{L}\left\{{\int }_{0^{-}}^{t}f(\tau )d\tau \right\}=\frac{1}{s}F(s)$$

证明：设 $g(t)={\int }_{0^{-}}^{t}f(\tau )d\tau$，则 $g^{\prime }(t)=f(t)$ 且 $g(0^{-})=0$。 根据微分性质：

$$\mathcal{L}\{g^{\prime }(t)\}=sG(s)-g(0^{-})⟹\mathcal{L}\{f(t)\}=sG(s)$$

$$G(s)=\frac{1}{s}F(s)$$

卷积定理 (Convolution Theorem)：时域卷积对应频域乘积。这是 LTI 系统 $Y(s)=G(s)U(s)$ 的理论基础。

$$\mathcal{L}\{(f\ast g)(t)\}=F(s)G(s)$$

其中 $(f\ast g)(t)\triangleq {\int }_0^{t}f(\tau )g(t-\tau )d\tau$。

证明：

$$\begin{array}{rl}\mathcal{L}\{f\ast g\}& ={\int }_0^{\infty }\left({\int }_0^{t}f(\tau )g(t-\tau )d\tau \right)e^{-st}dt\end{array}$$

时不变系统概念与分类

定义(线性时不变系统)：考虑线性时不变 (LTI) 系统 $\Sigma$，其状态空间方程 (State-space equations) 描述如下：

$$\{\begin{array}{l}\dot{x}(t)=Ax(t)+Bu(t)\\ y(t)=Cx(t)+Du(t)\end{array}$$

• $x(t)\in {\mathbb{C}}^n$：状态向量 (State)，$n$ 为系统的阶数 (Order)。
• $u(t)\in {\mathbb{C}}^m$：输入向量 (Input)。
• $y(t)\in {\mathbb{C}}^p$：输出向量 (Output)。
• $A\in {\mathbb{C}}^{n\times n},B\in {\mathbb{C}}^{n\times m},C\in {\mathbb{C}}^{p\times n},D\in {\mathbb{C}}^{p\times m}$

根据输入输出分类：SISO (单输入单输出) $m=1,p=1$；MISO (多输入单输出): $m>1,p=1$；MIMO（多输入多输出）$m>1,p>1$

根据维度分类：当 $n$ 为有限值时（即矩阵 $A,B,C$ 为有限维）称之为有限维系统；当 $n\to \infty$ 则称之为无限维系统（如延迟线、热传导、波传播等）。

传递函数

定义(传递函数)：传递函数 $G(s)$ 定义为零初始条件 $x(0)=0$ 下，输入信号的 Laplace 变换 $Y(s)$ 与输出信号的 Laplace 变换 $U(s)$ 的比值：

$$G(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}.$$

命题：上述线性 LTI 系统 $\Sigma$ 的传递函数 $G(s)$ 为：

$$G(s)=C(sI-A{)}^{-1}B+D(\text{for }s\notin \sigma (A))$$

其中 $\sigma (A)$ 是 $A$ 的特征值组成的集合(Spectrum)。

证明：对输入方程两边同时进行 Laplace 变换，并代入 $x(0)=0$：

$$sX(s)-x(0)=AX(s)+BU(s)\Rightarrow (sI-A)X(s)=BU(s)$$

当 $s\notin \sigma (A)$ 时，$(sI-A)$ 可逆，解得状态向量的变换：

$$X(s)=(sI-A{)}^{-1}BU(s)$$

对输出方程进行 Laplace 变换，并代入 $X(s)$

$$Y(s)=CX(s)+DU(s)$$

$$Y(s)=C\left[(sI-A{)}^{-1}BU(s)\right]+DU(s)$$

$$Y(s)=\left[C(sI-A{)}^{-1}B+D\right]U(s)$$

由此可见，定义 $G(s)=C(sI-A{)}^{-1}B+D$ 建立了关系 $Y(s)=G(s)U(s)$。

性质(有理函数)：矩阵 $G$ 的每个元素都是两个多项式的比值。

证明：根据矩阵求逆公式，对于非奇异矩阵 $M$，有 $M^{-1}=\frac{\text{adj}(M)}{\det (M)}$，其中 $\text{adj}(\cdot )$ 表示伴随矩阵 (Adjugate matrix)。令 $M=(sI-A)$，则：

$$(sI-A{)}^{-1}=\frac{\text{adj}(sI-A)}{\det (sI-A)}$$

• 分母：$\det (sI-A)$ 是矩阵 $A$ 的特征多项式，为关于 $s$ 的 $n$ 次多项式。
• 分子：$\text{adj}(sI-A)$ 的每个元素是 $(sI-A)$ 的代数余子式，即 $(n-1)\times (n-1)$ 子矩阵的行列式。因此，其元素均为关于 $s$ 的多项式，且最高次数不超过 $n-1$。

由于 $B,C,D$ 均为常数矩阵，它们的线性组合不改变“多项式比值”的性质。因此 $G(s)$ 的每个元素均为有理函数，且分母为 $\det (sI-A)$ (或其因子)。

性质(正则)：当 $s\to \infty$ 时，传递函数趋于有限常值矩阵，即：

$$\underset{s\to \infty }{\lim }G(s)=D<\infty$$

证明：考察项 $(sI-A{)}^{-1}$ 当 $s\to \infty$ 时的极限：

$$(sI-A{)}^{-1}={\left[s(I-\frac{1}{s}A)\right]}^{-1}=\frac{1}{s}{\left(I-\frac{1}{s}A\right)}^{-1}$$

当 $s\to \infty$ 时，$\frac{1}{s}A\to 0$，故 $(I-\frac{1}{s}A{)}^{-1}\to I$。 因此：

$$\underset{s\to \infty }{\lim }(sI-A{)}^{-1}=0\cdot I=0$$

代入 $G(s)$ 的定义式：

$$\begin{array}{rl}\underset{s\to \infty }{\lim }G(s)& =C\left(\underset{s\to \infty }{\lim }(sI-A{)}^{-1}\right)B+D\\ & =C\cdot 0\cdot B+D\\ & =D\end{array}$$

证毕。若 $D=0$（严格正则），则 ${\lim }_{s\to \infty }G(s)=0$。

$G(s)$ 的极点：$G(s)$ 的极点（若 $s$ 满足对任意 $g_{ij}(s)\to \infty$ 则是极点）是 $\sigma (A)$ 的子集，即是 $A$ 的特征值。

$$\text{poles of }G\subseteq \sigma (A)$$

证明：根据有理函数性质可知。

本节中考虑 线性系统与传递函数 中定义的线性系统与传递函数。

稳定性定义

定义(系统稳定性)：系统 $\Sigma$ 被称为稳定 (Stable)，如果当 $t\to \infty$ 时：

$$e^{At}\to 0$$

这意味着：若输入 $u=0$，从任意初始状态 $x(0)$ 出发，状态轨迹 $x(t)=e^{At}x(0)$ 均趋于零。

输入-输出关系：任意输入 $u$ (需具备拉普拉斯变换) 下的输出 $y$ 的拉普拉斯变换为：

$$\hat{y}(s)=\underset{\text{输入响应}}{\underbrace{G(s)\hat{u}(s)}}+\underset{\text{初始状态响应}}{\underbrace{C(sI-A{)}^{-1}x(0)}}$$

• 定义信号能量为 ${\int }_0^{\infty }|u(t){|}^{2}dt$。
• 若 $\Sigma$ 稳定且 $u$ 具有有限能量，则输出 $y$ 也具有有限能量。

稳定性判据：特征值角度

定理(充要条件)：系统 $\Sigma$ 是稳定的，当且仅当矩阵 $A$ 的谱 $\sigma (A)$ 完全位于左半复平面。

$$\Sigma \text{ is stable}⟺\sigma (A)\subset {\mathbb{C}}_{-}$$

其中开左半平面定义为 ${\mathbb{C}}_{-}=\{s\in \mathbb{C}\mid \text{Re }s<0\}$

证明：利用 Jordan 标准型分解，存在非奇异矩阵 $P$ 使得 $A=PJ{P}^{-1}$，其中 $J$ 为 Jordan 标准型矩阵。状态转移矩阵为：

$$e^{At}=P{e}^{Jt}{P}^{-1}$$

由于 $J=\text{diag}(J_1,J_2,\dots ,J_k)$ 是块对角矩阵，其中 $J_i$ 是对应于特征值 ${\lambda }_i$ 的 Jordan 块，故 $e^{Jt}=\text{diag}(e^{J_{1}t},e^{J_{2}t},\dots ,e^{J_{k}t})$。考察单个 $m$ 阶 Jordan 块 $J_i$ 的矩阵指数。对于特征值 ${\lambda }_i$，其 Jordan 块形式为：

$$J_i={\lambda }_{i}I+N=\left[\begin{array}{cccc}{\lambda }_i& 1& & \\ & \ddots & \ddots & \\ & & \ddots & 1\\ & & & {\lambda }_i\end{array}\right]$$

根据矩阵指数性质 $e^{({\lambda }_{i}I+N)t}=e^{{\lambda }_{i}t}{e}^{Nt}$，展开可得具体的上三角形式：

$$e^{J_{i}t}=e^{{\lambda }_{i}t}\left[\begin{array}{ccccc}1& t& \frac{t^2}{2!}& \cdots & \frac{t^{m-1}}{(m-1)!}\\ 0& 1& t& \cdots & \frac{t^{m-2}}{(m-2)!}\\ ⋮& ⋮& \ddots & \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & 1& t\\ 0& 0& \cdots & 0& 1\end{array}\right]$$

可以看出，$e^{At}$ 的每个元素都是形如 $c\cdot t^k{e}^{{\lambda }_{i}t}$ 的项的线性组合，其中 $0\le k<m$。当 $t\to \infty$ 时，要使系统稳定（即 $e^{At}\to 0$），必须要求矩阵中所有元素趋于零。 利用极限性质：

$$\underset{t\to \infty }{\lim }{t}^k{e}^{{\lambda }_{i}t}=0⟺\text{Re}({\lambda }_i)<0$$

(即使 $t^k$ 随时间增大，只要 ${\lambda }_i$ 有负实部，指数衰减项 $e^{\text{Re}({\lambda }_i)t}$ 最终会主导并使整体趋于零)。因此，系统稳定的充要条件是所有特征值的实部严格小于零，即 $\text{Re}({\lambda }_i)<0,\forall i$。

定义 (临界稳定)：若 $\sigma (A)\subset {\mathbb{C}}_{-}\cup i\mathbb{R}$（即特征值位于左半平面或虚轴上），称 LTI 系统为临界稳定 (Marginally Stable)。

我们仅考虑矩阵 $A$ 为实矩阵 ($A\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$) 的情况，其特征多项式 $p(s)$ 如下，此时系数 $a_j$ 均为实数：

$$p(s)=\det (sI-A)=s^n+a_{n-1}{s}^{n-1}+a_{n-2}{s}^{n-2}+\cdots +a_{1}s+a_0$$

定理(必要条件)：如果 $A$ 是实矩阵且稳定的，则其特征多项式的所有系数必须严格大于零。

$$A\text{ 稳定 }⟹a_j>0(0\le j\le n-1)$$

• 对于 $n=1$ 或 $n=2$，该条件也是充分的。
• 对于 $n\ge 3$，仅检查 $a_j>0$ 是不够的（不充分）。
• 当 $n\ge 5$ 时，不存在通用的根式公式来求解多项式的零点，通常需要数值近似。

证明：设 $p(s)$ 的根为 ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n$。由于 $A$ 稳定，所有 ${\lambda }_i$ 均位于左半开平面。 因为 $p(s)$ 是实系数多项式，其根要么是实数，要么是共轭复数对。

• 实根 $\lambda =-\alpha$ ($\alpha >0$) 对应的因子为 $(s+\alpha )$，系数均为正。
• 共轭复根对 $\lambda =-\alpha \pm i\beta$ ($\alpha >0,\beta \ne 0$) 对应的因子乘积为 $(s+\alpha -i\beta )(s+\alpha +i\beta )=(s+\alpha {)}^2+{\beta }^2=s^2+2\alpha s+({\alpha }^2+{\beta }^2)$。由于 $\alpha >0$，该二次多项式的系数也均为正。

$p(s)$ 可以分解为上述一阶和二阶因子的乘积。由于具有正系数的多项式之积仍具有正系数，因此 $p(s)$ 的所有系数 $a_j$ 必须严格大于零。

劳斯判据 (Routh Test)

为了在不计算特征值的情况下确定 $A$ 的稳定性，我们可以使用 劳斯判据 (Routh Test)。仅当已确认所有系数 $a_j>0$ 后才构建劳斯表。若任一系数 $\le 0$，则 $A$ 不稳定，无需建表。

为什么 $a_j\le 0$ 代表 $A$ 不稳定：上述“必要条件”定理的逆否命题。

劳斯表 (Routh Table)：构造如下表格（共 $n+1$ 行）

$$\begin{array}{cccccc}{s}^n& 1& a_{n-2}& a_{n-4}& a_{n-6}& \cdots \\ s^{n-1}& a_{n-1}& a_{n-3}& a_{n-5}& a_{n-7}& \cdots \\ s^{n-2}& b_1& b_2& b_3& b_4& \cdots \\ s^{n-3}& c_1& c_2& c_3& c_4& \cdots \\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& \end{array}$$

计算公式：后续行的元素由前两行计算得出。第 $j$ 个元素 $b_j$ 的计算公式为：

$$b_1=\frac{-1}{a_{n-1}}\det \left[\begin{array}{cc}1& a_{n-2}\\ a_{n-1}& a_{n-3}\end{array}\right],b_2=\frac{-1}{a_{n-1}}\det \left[\begin{array}{cc}1& a_{n-4}\\ a_{n-1}& a_{n-5}\end{array}\right],\dots$$

同理，下一行 $c_j$ 由 $a$ 行（作为前前行）和 $b$ 行（作为前一行）计算：

$$c_1=\frac{-1}{b_1}\det \left[\begin{array}{cc}{a}_{n-1}& a_{n-3}\\ b_1& b_2\end{array}\right],c_2=\frac{-1}{b_1}\det \left[\begin{array}{cc}{a}_{n-1}& a_{n-5}\\ b_1& b_3\end{array}\right],\dots$$

定理(Routh Test)：系统稳定的充要条件是劳斯表第一列的所有元素均严格大于零。第一列符号改变的次数等于位于右半平面的特征值个数。

证明 (核心思路)：劳斯判据的结论并不平凡，它将复平面根的分布问题转化为了代数运算。其证明主要依赖于 柯西辐角原理 (Cauchy's Argument Principle) 和 施图姆定理 (Sturm's Theorem)。

• 辐角原理：考察特征多项式 $p(s)$ 沿“奈奎斯特围线”（包围整个右半平面）的映射。若系统稳定（无右半平面根），则当 $s$ 沿虚轴从 $-i\infty$ 变化到 $+i\infty$ 时，相角 $\arg p(i\omega )$ 的总变化量必须满足特定条件（即净旋转角度与阶数相关）。
• 实部与虚部交替：在虚轴上 $s=i\omega$，多项式可写为实部与虚部之和：$p(i\omega )=u(\omega )+jv(\omega )$。可以证明，系统稳定的充要条件等价于 $u(\omega )$ 和 $v(\omega )$ 的实根在频率轴上交替出现 (Interlacing Property)。
• 欧几里得辗转相除：劳斯表的构造过程（行与行之间的递推计算），本质上是对多项式的偶次部分 $p_{even}(s)$ 和奇次部分 $p_{odd}(s)$ 进行欧几里得多项式除法。

结论：劳斯表第一列的符号序列，实际上反映了施图姆序列 (Sturm Sequence) 的符号变化次数。第一列全为正，严格对应于根的完美交替，从而保证所有特征值均在左半平面。

示例 ($n=3$)：考虑特征多项式 $p(s)=s^3+a_2{s}^2+a_{1}s+a_0$，其劳斯表如下：

$$\begin{array}{ccc}{s}^3& 1& a_1\\ s^2& a_2& a_0\\ s^1& b_1& 0\\ s^0& c_1& 0\end{array}$$

计算得：

$$b_1=\frac{-1}{a_2}\det \left[\begin{array}{cc}1& a_1\\ a_2& a_0\end{array}\right]=\frac{a_0-a_1{a}_2}{-a_2}=\frac{a_1{a}_2-a_0}{a_2}$$

$$c_1=\frac{-1}{b_1}\det \left[\begin{array}{cc}{a}_2& a_0\\ b_1& 0\end{array}\right]=\frac{-(-a_0{b}_1)}{b_1}=a_0$$

因此 $A$ 稳定的充要条件是劳斯表第一列全为正，即：

$$a_2>0,a_0>0,\frac{a_1{a}_2-a_0}{a_2}>0⟹a_1{a}_2>a_0$$

(注：由于 $a_2,a_0>0$ 且 $a_1{a}_2>a_0$，这也隐含了 $a_1>0$)

定理 (不稳定性判据)：如果 $A$ 不稳定，且劳斯表第一列中的所有数字均非零，则 $A$ 的不稳定特征值（位于 ${\mathbb{C}}_{+}$ 中）的个数等于劳斯表第一列符号改变的次数。

本笔记使用 线性系统与传递函数 与 线性系统稳定性 中的记号。

通常系统不一定用状态空间（$A,B,C,D$ 四个矩阵）表示，而是仅用传递函数 $G(s)$ 表示。

• 若系统 $\Sigma$ 是有限维的，则其传递函数为真有理分式 (Proper Rational)，即分子多项式的阶次不高于分母多项式的阶次。
• 若系统 $\Sigma$ 是无限维的，则其传递函数可能是无理函数 (Irrational)。例如 $G(s)=e^{-\tau s}$ ($\tau >0$)，对应于延时为 $\tau$ 的延时环节 (Delay Line)。

传递函数稳定性

定义(传递函数稳定性)：传递函数 $G$ 被称为 稳定 (Stable)，如果它满足以下两个条件：

• 在开右半平面 ${\mathbb{C}}_{+}$ 上是有界 (Bounded) 的。
• 在开右半平面 ${\mathbb{C}}_{+}$ 上是解析 (Analytic) 的。

有界性 (Boundedness)：这限制了系统对高频信号的放大能力。如果 $G(s)$ 在 ${\mathbb{C}}_{+}$ 无界（例如 $G(s)=s$ 对应理想微分器），则当 $|s|\to \infty$ 时增益趋于无穷，这意味着系统对高频噪声极度敏感，且需要无限的功率，这在物理现实中是不稳定的表现。

解析性 (Analyticity)：这保证了系统没有位于右半平面的极点。如果 $G(s)$ 在 ${\mathbb{C}}_{+}$ 有极点 $p$，则其时域脉冲响应 $h(t)$ 将包含 $e^{pt}$ 项（其中 $\text{Re}(p)>0$），导致输出随时间指数发散。

定理(稳定性判据)：若 $G(s)$ 是有理函数，则 $G$ 是稳定的，当且仅当：

• 它是真分式 (Proper)。
• 其所有极点 (Poles) 均位于开左半平面 ${\mathbb{C}}_{-}$。

证明：必要性 ($\Rightarrow$)：

• 若 $G(s)$ 稳定，则在 ${\mathbb{C}}_{+}$ 上有界。假设 $G(s)$ 不是真分式（即分子阶次 $>$ 分母阶次），则当 $|s|\to \infty$ 时，$|G(s)|\to \infty$，违反有界性条件。故 $G$ 必须是真分式。
• 若 $G(s)$ 在 ${\mathbb{C}}_{+}$ 内有极点，则不满足解析性。若 $G(s)$ 在虚轴 $i\mathbb{R}$ 上有极点 $i{\omega }_0$，则当 $s\to i{\omega }_0$ (从右侧) 时，$|G(s)|\to \infty$，违反有界性。故所有极点必须位于 ${\mathbb{C}}_{-}$。

充分性 ($\Leftarrow$)：

• 若极点均在 ${\mathbb{C}}_{-}$，则 $G(s)$ 在闭右半平面 $\overline{{\mathbb{C}}_{+}}$（包含虚轴）上无奇点，因此是解析的。
• 由于 $G(s)$ 是真分式，当 $|s|\to \infty$ 时，$|G(s)|$ 趋于常数（若严格真分式则趋于0）。由于 $G(s)$ 在 $\overline{{\mathbb{C}}_{+}}$ 上连续且在无穷远处有界，根据极值定理，它在整个 ${\mathbb{C}}_{+}$ 上是有界的。

注意：如果 $G$ 在虚轴 $i\mathbb{R}$ 上有极点，则当 $s$ 从右侧趋于该极点时 $|G(s)|\to \infty$，违反有界性，因此是不稳定的。

系统稳定性与传递函数稳定性

定理：如果 $\Sigma$ 是一个稳定的有限维 LTI 系统，则其传递函数 $G(s)$ 是稳定的。

证明：传递函数由 $G(s)=C(sI-A{)}^{-1}B+D$ 给定。其极点集合是矩阵 $A$ 特征值集合 $\sigma (A)$ 的子集。若 $\Sigma$ 稳定，则 $\sigma (A)\subset {\mathbb{C}}_{-}$，故 $G$ 的极点也均在 ${\mathbb{C}}_{-}$。

逆命题通常不成立：

• 如果 $A$ 不稳定，但由于零极点对消 (Pole-Zero Cancellation) 或系统存在不可控/不可观 (Uncontrollable/Unobservable) 模态，$G(s)$ 仍可能表现为稳定。
• 反例：设 $A$ 不稳定，但 $C=0$（或 $B=0$），则 $G(s)=D$（常数矩阵），这显然是稳定的，但内部系统状态 $x(t)$ 可能发散。
• 例外：对于最小实现 (Minimal Systems)（即既可控又可观的系统），逆命题成立：$G$ 稳定 $⟺\Sigma$ 稳定。