Control Theory

与连续时间系统不同，离散时间时滞系统可以通过状态增广 (State Augmentation) 转化为一个无时滞的高维系统。虽然这会增加计算维度，但它提供了一个非常直观的分析框架。

基础模型与状态增广

线性定常时滞系统：考虑如下具有常数时滞 $h$ 的线性离散系统：

$$x(k+1)=Ax(k)+A_{1}x(k-h),k\in {\mathbb{Z}}_{+},h\in \mathbb{N}$$

$x(k)\in {\mathbb{R}}^n$ 为状态变量，需要给出一段历史数据 $x(0),x(-1),\dots ,x(-h)$ 作为初始条件。

定义(增广状态向量)：为了消除显式的时滞项，我们定义一个新的“增广状态” $x_{aug}(k)$，包含当前状态和过去 $h$ 步的状态：

$$x_{aug}(k)=\text{col}\{x(k),x(k-1),\dots ,x(k-h)\}\in {\mathbb{R}}^{(h+1)n}$$

定理(无时滞系统转换)：原系统可以重写为如下形式的无时滞系统：

$$x_{aug}(k+1)=A_{aug}{x}_{aug}(k)$$

其中，增广矩阵 $A_{aug}$ 具有如下的伴随形式 (Companion Form)：

$$A_{aug}=\left[\begin{array}{ccccc}A& 0& \dots & 0& A_1\\ I_n& 0& \dots & 0& 0\\ 0& I_n& \dots & 0& 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮\\ 0& 0& \dots & I_n& 0\end{array}\right]$$

证明：我们需要验证 $x_{aug}(k+1)$ 是否真的等于 $A_{aug}\times x_{aug}(k)$。左边根据定义，$x_{aug}(k+1)$ 是将时间向前推一步：

$$x_{aug}(k+1)=\left[\begin{array}{c}x(k+1)\\ x(k)\\ x(k-1)\\ ⋮\\ x(k-h+1)\end{array}\right]$$

右边进行矩阵乘法运算：

$$\left[\begin{array}{ccccc}A& 0& \dots & 0& A_1\\ I& 0& \dots & 0& 0\\ 0& I& \dots & 0& 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮\\ 0& 0& \dots & I& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x(k)\\ x(k-1)\\ ⋮\\ x(k-h+1)\\ x(k-h)\end{array}\right]$$

• 第 1 行: $A\cdot x(k)+0+\cdots +A_1\cdot x(k-h)=Ax(k)+A_{1}x(k-h)$。这正是原系统的动力学方程。
• 第 2 行: $I\cdot x(k)+0+\cdots =x(k)$。这是一个恒等式（当前时刻的 $x(k)$ 变成了下一时刻的“过去一步状态”）。
• 第 3 行: $0\cdot x(k)+I\cdot x(k-1)+\cdots =x(k-1)$。
• 以此类推，直到最后一行。

离散时滞系统在本质上是有限维的，系统维数从 $n$ 变为 $(h+1)n$。

稳定性分析

渐进稳定性：对于离散系统，渐近稳定 (Asymptotically Stable) 意味着对于任意小的初始条件，随着时间推移 $k\to \infty$，状态范数趋于零，即

$$\underset{k\to \infty }{\lim }\Vert x(k)\Vert =0.$$

Lyapunov 方法: 系统渐近稳定的充要条件是存在一个正定矩阵 $P_{aug}>0$，使得 Lyapunov 函数 $V(x_{aug}(k))=x_{aug}^T(k)P_{aug}{x}_{aug}(k)$ 满足：

$$V_{aug}(x_{aug}(k+1))-V_{aug}(x_{aug}(k))\le -\alpha |x_{aug}(k){|}^2,\alpha >0$$

虽然增广法将问题简化为标准的 LTI 系统分析，但如果时滞 $h$ 很大，矩阵 $A_{aug}$ 的维数会急剧膨胀，导致计算极其复杂。如果时滞参数 $h$ 是未知的或不确定的，增广法也会变得难以应用。

时变时滞与切换系统 (Time-Varying Delays & Switched Systems)

定义(时变时滞)：当时滞不是常数，而是随时间变化的 ${\tau }_k$

$$x(k+1)=Ax(k)+A_{1}x(k-{\tau }_k),0\le {\tau }_k\le h$$

难点：当时滞 $h$ 变成随时间变化的 ${\tau }_k$ ($0\le {\tau }_k\le h$) 时，常数矩阵 $A_{aug}$ 就不存在了

线性切换系统：时变时滞系统中增广矩阵 $A_{aug}$ 不再是常数矩阵，而是随 ${\tau }_k$ 的取值在变化。这可以被建模为一个线性切换系统 (Linear Switched System)：

$$x_{aug}(k+1)=A^{(j)}{x}_{aug}(k)$$

其中 $j={\tau }_k\in \{0,1,\dots ,h\}$。根据 ${\tau }_k$ 的不同取值，系统矩阵在 $h+1$ 个可能的矩阵 $A^{(0)},A^{(1)},\dots ,A^{(h)}$ 之间切换。

离散时变时滞系统的稳定性问题，可以转化为任意切换规则下的线性切换系统的稳定性问题。

传递函数法

传递函数法：对于多时滞、含输入的系统：

$$x(k+1)=\sum _{i=0}^r{A}_{i}x(k-h_i)+\sum _{i=0}^r{B}_{i}u(k-h_i)$$

$$y(k)=\sum _{i=0}^r{C}_{i}x(k-h_i)+\sum _{i=0}^r{D}_{i}u(k-h_i)$$

其中 $0=h_0<h_1<\cdots <h_r=h$。

Z变换：通过 Z 变换 ($x(k-h)\leftrightarrow z^{-h}X(z)$)，可以得到传递函数矩阵 $G(z)$：

$$G(z)=\sum _{i=0}^r{D}_i{z}^{-h_i}+\sum _{i=0}^r{C}_i{z}^{-h_i}{\left[zI-\sum _{i=0}^r{A}_i{z}^{-h_i}\right]}^{-1}\sum _{i=0}^r{B}_i{z}^{-h_i}$$

$G(z)$ 的每一项都是 $z$ 的多项式的商。