Control Theory

基于 Section 6.1.3 - 6.1.4 (直接 Lyapunov 方法与 LMI)

1. 为什么要用“直接方法”？

在第一部分中，我们通过增广法将时滞系统转化为无时滞的高维系统。虽然理论上精确，但存在维数灾难：当且仅当时滞 $h$ 较小时适用。如果 $h=20$，系统维数就会翻 20 倍，计算极其缓慢。

直接 Lyapunov 方法 (Direct Lyapunov Method) 克服了这个问题。它不增加系统状态的维数，而是通过构造复杂的Lyapunov-Krasovskii 泛函 (LKF) 或使用 Lyapunov-Razumikhin 方法 来导出稳定性条件。这些条件通常是充分条件，以 LMI (线性矩阵不等式) 的形式给出。

2. 时滞独立稳定性 (Delay-Independent Stability)

核心思想：无论时滞 $h$ 有多大，系统都保持稳定。这是一种非常保守（强）的稳定性。

2.1 基于 Lyapunov-Razumikhin 方法

对于时变时滞系统 $x(k+1)=Ax(k)+A_{1}x(k-{\tau }_k)$，我们寻找一个标准的 Lyapunov 函数 $V(x)=x^{T}Px$。 为了处理时滞项，Razumikhin 定理引入了一个条件：不需要 $V$ 在所有时刻都下降，只需要在当前时刻的能量“即使考虑到过去的历史也是最大”的时候下降即可。

LMI 条件 (Proposition 6.1): 给定调节标量 $q\in (0,1)$，如果存在正定矩阵 $P>0$ 满足以下 LMI，则系统对任意时滞渐近稳定：

$${\Gamma }_{ind}\triangleq \left[\begin{array}{cc}{A}^{T}PA-(1-q)P& A^{T}P{A}_1\\ A_1^{T}PA& A_1^{T}P{A}_1-qP\end{array}\right]<0$$

• 注：这种条件通常只适用于 $A$ 本身就是稳定矩阵（Schur Matrix）的情况。

3. 时滞依赖稳定性 (Delay-Dependent Stability)

核心思想：系统只在时滞小于某个上限 $h$ ($0\le {\tau }_k\le h$) 时稳定。这是工程中最实用的分析。

3.1 Lyapunov-Krasovskii 泛函 (LKF) 的构造

这是离散时滞分析中最关键的部分。一个经典的 LKF 通常包含三部分：

$$V(x_k)=\underset{\text{当前能量}}{\underbrace{V_P(k)}}+\underset{\text{求和能量}}{\underbrace{V_S(k)}}+\underset{\text{差分求和能量}}{\underbrace{V_R(k)}}$$

1. $V_P(k)=x^T(k)Px(k)$: 标准的二次型能量。
2. $V_S(k)={\sum }_{j=k-h}^{k-1}{x}^T(j)Sx(j)$: 这对应于连续时间中的积分项 ${\int }_{t-h}^t{x}^{T}Sxds$。它“存储”了过去 $h$ 步的状态能量。
3. $V_R(k)=h{\sum }_{m=-h}^{-1}{\sum }_{j=k+m}^{k-1}{\eta }^T(j)R\eta (j)$: 其中 $\eta (j)=x(j+1)-x(j)$ 是状态的差分（类似于速度）。 这对应于连续时间中的 ${\int }_{-h}^0{\int }_{t+\theta }^t{\dot{x}}^{T}R\dot{x}dsd\theta$。
   • 作用: 这一项对于利用 Jensen 不等式导出较少保守性的条件至关重要。

3.2 关键数学工具

为了处理差分项 $V(k+1)-V(k)$ 中的复杂求和，我们需要用到两个核心不等式技术：

1. Jensen 不等式 (离散形式): 用于将求和项的二次型转化为求和后项的二次型（放大不等式，为了获得负定的上界）。

   $$-h\sum _{j=k-h}^{k-1}{\eta }^T(j)R\eta (j)\le -{\left[x(k)-x(k-h)\right]}^{T}R\left[x(k)-x(k-h)\right]$$

   它把中间的所有差分项“压缩”成了首尾两项 $x(k)$ 和 $x(k-h)$ 的差。

2. 倒凸方法 (Reciprocally Convex Approach): 当处理时变时滞 ${\tau }_k$ 时，求和区间会被切分为 $[k-{\tau }_k,k]$ 和 $[k-h,k-{\tau }_k]$ 两段。倒凸方法用于处理形如 $\frac{1}{\alpha }+\frac{1}{1-\alpha }$ 的各项，使得最终的 LMI 能够覆盖所有可能的时变时滞，且比简单的放缩更精确。

3.3 主要结论 (Theorem 6.1)

基于上述 LKF 和不等式技术，系统在 $0\le {\tau }_k\le h$ 范围内渐近稳定的充分条件是存在矩阵 $P,S,R,S_{12}$ 等满足特定的 LMI（形如 ${\Phi }_{dis}<0$）。

• 具体矩阵形式见文稿中的式 (6.16) 或 (6.18)。
• 这些 LMI 可以直接在 MATLAB 中使用 YALMIP 或 LMI Toolbox 求解。

4. $l_2$-增益分析 (性能分析)

除了稳定性，我们还关心系统在外部扰动 $w(k)$ 下的表现。

• 系统模型:

  $$x(k+1)=Ax(k)+A_{1}x(k-{\tau }_k)+B_{1}w(k)$$

  $$z(k)=C_{0}x(k)+C_{1}x(k-{\tau }_k)(\text{被控输出})$$

• $l_2$-增益 ($\gamma$): 我们希望找到最小的 $\gamma$，使得对于零初始条件，输出能量总小于输入扰动能量的 $\gamma$ 倍：

  $$\sum _{k=0}^{\infty }\Vert z(k){\Vert }^2<{\gamma }^2\sum _{k=0}^{\infty }\Vert w(k){\Vert }^2$$

• LMI 条件: 通过在 Lyapunov 差分中加入性能指标项 $J=V(k+1)-V(k)+z^{T}z-{\gamma }^2{w}^{T}w<0$，可以推导出包含 $\gamma$ 的 LMI (6.24)。这允许我们在保证稳定的同时，优化系统的抗干扰能力。