Control Theory

时不变系统概念与分类

定义(线性时不变系统)：考虑线性时不变 (LTI) 系统 $\Sigma$，其状态空间方程 (State-space equations) 描述如下：

$$\{\begin{array}{l}\dot{x}(t)=Ax(t)+Bu(t)\\ y(t)=Cx(t)+Du(t)\end{array}$$

• $x(t)\in {\mathbb{C}}^n$：状态向量 (State)，$n$ 为系统的阶数 (Order)。
• $u(t)\in {\mathbb{C}}^m$：输入向量 (Input)。
• $y(t)\in {\mathbb{C}}^p$：输出向量 (Output)。
• $A\in {\mathbb{C}}^{n\times n},B\in {\mathbb{C}}^{n\times m},C\in {\mathbb{C}}^{p\times n},D\in {\mathbb{C}}^{p\times m}$

根据输入输出分类：SISO (单输入单输出) $m=1,p=1$；MISO (多输入单输出): $m>1,p=1$；MIMO（多输入多输出）$m>1,p>1$

根据维度分类：当 $n$ 为有限值时（即矩阵 $A,B,C$ 为有限维）称之为有限维系统；当 $n\to \infty$ 则称之为无限维系统（如延迟线、热传导、波传播等）。

传递函数

定义(传递函数)：传递函数 $G(s)$ 定义为零初始条件 $x(0)=0$ 下，输入信号的 Laplace 变换 $Y(s)$ 与输出信号的 Laplace 变换 $U(s)$ 的比值：

$$G(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}.$$

命题：上述线性 LTI 系统 $\Sigma$ 的传递函数 $G(s)$ 为：

$$G(s)=C(sI-A{)}^{-1}B+D(\text{for }s\notin \sigma (A))$$

其中 $\sigma (A)$ 是 $A$ 的特征值组成的集合(Spectrum)。

证明：对输入方程两边同时进行 Laplace 变换，并代入 $x(0)=0$：

$$sX(s)-x(0)=AX(s)+BU(s)\Rightarrow (sI-A)X(s)=BU(s)$$

当 $s\notin \sigma (A)$ 时，$(sI-A)$ 可逆，解得状态向量的变换：

$$X(s)=(sI-A{)}^{-1}BU(s)$$

对输出方程进行 Laplace 变换，并代入 $X(s)$

$$Y(s)=CX(s)+DU(s)$$

$$Y(s)=C\left[(sI-A{)}^{-1}BU(s)\right]+DU(s)$$

$$Y(s)=\left[C(sI-A{)}^{-1}B+D\right]U(s)$$

由此可见，定义 $G(s)=C(sI-A{)}^{-1}B+D$ 建立了关系 $Y(s)=G(s)U(s)$。

性质(有理函数)：矩阵 $G$ 的每个元素都是两个多项式的比值。

证明：根据矩阵求逆公式，对于非奇异矩阵 $M$，有 $M^{-1}=\frac{\text{adj}(M)}{\det (M)}$，其中 $\text{adj}(\cdot )$ 表示伴随矩阵 (Adjugate matrix)。令 $M=(sI-A)$，则：

$$(sI-A{)}^{-1}=\frac{\text{adj}(sI-A)}{\det (sI-A)}$$

• 分母：$\det (sI-A)$ 是矩阵 $A$ 的特征多项式，为关于 $s$ 的 $n$ 次多项式。
• 分子：$\text{adj}(sI-A)$ 的每个元素是 $(sI-A)$ 的代数余子式，即 $(n-1)\times (n-1)$ 子矩阵的行列式。因此，其元素均为关于 $s$ 的多项式，且最高次数不超过 $n-1$。

由于 $B,C,D$ 均为常数矩阵，它们的线性组合不改变“多项式比值”的性质。因此 $G(s)$ 的每个元素均为有理函数，且分母为 $\det (sI-A)$ (或其因子)。

性质(正则)：当 $s\to \infty$ 时，传递函数趋于有限常值矩阵，即：

$$\underset{s\to \infty }{\lim }G(s)=D<\infty$$

证明：考察项 $(sI-A{)}^{-1}$ 当 $s\to \infty$ 时的极限：

$$(sI-A{)}^{-1}={\left[s(I-\frac{1}{s}A)\right]}^{-1}=\frac{1}{s}{\left(I-\frac{1}{s}A\right)}^{-1}$$

当 $s\to \infty$ 时，$\frac{1}{s}A\to 0$，故 $(I-\frac{1}{s}A{)}^{-1}\to I$。 因此：

$$\underset{s\to \infty }{\lim }(sI-A{)}^{-1}=0\cdot I=0$$

代入 $G(s)$ 的定义式：

$$\begin{array}{rl}\underset{s\to \infty }{\lim }G(s)& =C\left(\underset{s\to \infty }{\lim }(sI-A{)}^{-1}\right)B+D\\ & =C\cdot 0\cdot B+D\\ & =D\end{array}$$

证毕。若 $D=0$（严格正则），则 ${\lim }_{s\to \infty }G(s)=0$。

$G(s)$ 的极点：$G(s)$ 的极点（若 $s$ 满足对任意 $g_{ij}(s)\to \infty$ 则是极点）是 $\sigma (A)$ 的子集，即是 $A$ 的特征值。

$$\text{poles of }G\subseteq \sigma (A)$$

证明：根据有理函数性质可知。