Control Theory

时不变系统概念与分类

定义(线性时不变系统)：考虑线性时不变 (LTI) 系统 $\Sigma$，其状态空间方程 (State-space equations) 描述如下：

$$\{\begin{array}{l}\dot{x}(t)=Ax(t)+Bu(t)\\ y(t)=Cx(t)+Du(t)\end{array}$$

• $x(t)\in {\mathbb{C}}^n$：状态向量 (State)，$n$ 为系统的阶数 (Order)。例如弹簧伸长度这种无方向的状态一般用实数，例如旋转球体的位置/交流电则可以用复数。
• $u(t)\in {\mathbb{C}}^m$：输入向量 (Input)。
• $y(t)\in {\mathbb{C}}^p$：输出向量 (Output)。
• $A\in {\mathbb{C}}^{n\times n},B\in {\mathbb{C}}^{n\times m},C\in {\mathbb{C}}^{p\times n},D\in {\mathbb{C}}^{p\times m}$。实数和复数本质上等价，但是复数用一个维度即可描述旋转，而实数要用两个维度，因此复数维度更低。

系统解析解：使用常数变易法可解出上述系统的解析解

$$x(t)=\underset{\text{零输入响应}}{\underbrace{e^{At}x(0)}}+\underset{\text{零状态响应}}{\underbrace{{\int }_0^t{e}^{A(t-\tau )}Bu(\tau )d\tau }}$$

$$y(t)=C{e}^{At}x(0)+\left[C{\int }_0^t{e}^{A(t-\tau )}Bu(\tau )d\tau +Du(t)\right]$$

• $e^{At}=I+At+\frac{(At{)}^2}{2!}+\dots$ 称为状态转移矩阵 (State Transition Matrix)，它描述了系统在没有外部输入时，初始状态如何随时间自然演化。
• ${\int }_0^t{e}^{A(t-\tau )}Bu(\tau )d\tau$ 表示过去所有时刻输入 $u(\tau )$ 对当前时刻 $t$ 的状态产生的累积影响。这是系统的“记忆”体现。
• 零输入响应 (Zero-Input Response)：仅由初始能量 $x(0)$ 引起，与输入无关。
• 零状态响应 (Zero-State Response)：仅由外部输入 $u(t)$ 引起，假设初始状态为零。

根据输入输出分类：SISO (单输入单输出) $m=1,p=1$；MISO (多输入单输出): $m>1,p=1$；MIMO（多输入多输出）$m>1,p>1$

根据维度分类：当 $n$ 为有限值时（即矩阵 $A,B,C$ 为有限维）称之为有限维系统；当 $n\to \infty$ 则称之为无限维系统（如延迟线、热传导、波传播等）。