Control Theory

本节我们对系数 $\dot{x}(t)=Ax(t)$ 进行深入分析，详细讲解 $A$ 如何决定着系统的动力学行为。

系统定义

定义(线性自治系统)：考虑如下一阶常微分方程组：

$$\dot{x}(t)=Ax(t)$$

其中 $x(t)\in {\mathbb{F}}^n$ 为状态向量，$A\in {\mathbb{F}}^{n\times n}$ 为常数矩阵（$\mathbb{F}$ 可为 $\mathbb{R}$ 或 $\mathbb{C}$）。

定理(通解)：上述系统的解由矩阵指数给出：

$$x(t)=e^{At}x(0)$$

定理(特解)：若 $v$ 是 $A$ 的特征向量，对应的特征值为 $\lambda$，且初值 $x(0)=cv$，则特解为：

$$x(t)=c{e}^{\lambda t}v$$

注：一般解是这些特解的线性组合（假设 $A$ 可对角化）。因此，分析 $\lambda$ 的性质即等同于分析系统行为。

特征值分解

特征值分解：设矩阵 $A$ 的特征值为复数 $\lambda =\alpha +i\beta$，其中 $\alpha ,\beta \in \mathbb{R}$。根据欧拉公式，解的时间项可以分解为

$$e^{\lambda t}=e^{(\alpha +i\beta )t}=\underset{\text{幅值缩放}}{\underbrace{e^{\alpha t}}}(\underset{\text{相位旋转/振荡}}{\underbrace{\cos (\beta t)+i\sin (\beta t)}})$$

• 实部 $\alpha =\text{Re}(\lambda )$ 决定了轨道模长的变化趋势（增长或衰减速率）
  • $\alpha <0$ (耗散/收敛)：因子 $e^{\alpha t}\to 0$ (当 $t\to \infty$)。系统能量耗散，状态沿特征向量方向收敛向原点。
  • $\alpha >0$ (发散/膨胀)：因子 $e^{\alpha t}\to \infty$。系统能量输入，状态沿特征向量方向指数级远离原点。
  • $\alpha =0$ (保守)：$e^{0t}=1$。模长不随时间指数变化（可能保持常数或代数增长）。
• 虚部 $\beta =\text{Im}(\lambda )$ 决定了系统在相空间中的旋转或振荡频率
  • $\beta \ne 0$：引入了振荡分量 $e^{i\beta t}$。在实空间投影下表现为正弦/余弦波；在复空间表现为相位旋转。
  • $\beta =0$：纯实数特征值，无振荡，系统行为是单调的（直接趋向或远离原点）。