Control Theory

本笔记使用 线性系统与传递函数 与 线性系统稳定性 中的记号。

通常系统不一定用状态空间（$A,B,C,D$ 四个矩阵）表示，而是仅用传递函数 $G(s)$ 表示。

• 若系统 $\Sigma$ 是有限维的，则其传递函数为真有理分式 (Proper Rational)，即分子多项式的阶次不高于分母多项式的阶次。
• 若系统 $\Sigma$ 是无限维的，则其传递函数可能是无理函数 (Irrational)。例如 $G(s)=e^{-\tau s}$ ($\tau >0$)，对应于延时为 $\tau$ 的延时环节 (Delay Line)。

传递函数稳定性

定义(传递函数稳定性)：传递函数 $G$ 被称为 稳定 (Stable)，如果它满足以下两个条件：

• 在开右半平面 ${\mathbb{C}}_{+}$ 上是有界 (Bounded) 的。
• 在开右半平面 ${\mathbb{C}}_{+}$ 上是解析 (Analytic) 的。

有界性 (Boundedness)：这限制了系统对高频信号的放大能力。如果 $G(s)$ 在 ${\mathbb{C}}_{+}$ 无界（例如 $G(s)=s$ 对应理想微分器），则当 $|s|\to \infty$ 时增益趋于无穷，这意味着系统对高频噪声极度敏感，且需要无限的功率，这在物理现实中是不稳定的表现。

解析性 (Analyticity)：这保证了系统没有位于右半平面的极点。如果 $G(s)$ 在 ${\mathbb{C}}_{+}$ 有极点 $p$，则其时域脉冲响应 $h(t)$ 将包含 $e^{pt}$ 项（其中 $\text{Re}(p)>0$），导致输出随时间指数发散。

定理(稳定性判据)：若 $G(s)$ 是有理函数，则 $G$ 是稳定的，当且仅当：

• 它是真分式 (Proper)。
• 其所有极点 (Poles) 均位于开左半平面 ${\mathbb{C}}_{-}$。

证明：必要性 ($\Rightarrow$)：

• 若 $G(s)$ 稳定，则在 ${\mathbb{C}}_{+}$ 上有界。假设 $G(s)$ 不是真分式（即分子阶次 $>$ 分母阶次），则当 $|s|\to \infty$ 时，$|G(s)|\to \infty$，违反有界性条件。故 $G$ 必须是真分式。
• 若 $G(s)$ 在 ${\mathbb{C}}_{+}$ 内有极点，则不满足解析性。若 $G(s)$ 在虚轴 $i\mathbb{R}$ 上有极点 $i{\omega }_0$，则当 $s\to i{\omega }_0$ (从右侧) 时，$|G(s)|\to \infty$，违反有界性。故所有极点必须位于 ${\mathbb{C}}_{-}$。

充分性 ($\Leftarrow$)：

• 若极点均在 ${\mathbb{C}}_{-}$，则 $G(s)$ 在闭右半平面 $\overline{{\mathbb{C}}_{+}}$（包含虚轴）上无奇点，因此是解析的。
• 由于 $G(s)$ 是真分式，当 $|s|\to \infty$ 时，$|G(s)|$ 趋于常数（若严格真分式则趋于0）。由于 $G(s)$ 在 $\overline{{\mathbb{C}}_{+}}$ 上连续且在无穷远处有界，根据极值定理，它在整个 ${\mathbb{C}}_{+}$ 上是有界的。

注意：如果 $G$ 在虚轴 $i\mathbb{R}$ 上有极点，则当 $s$ 从右侧趋于该极点时 $|G(s)|\to \infty$，违反有界性，因此是不稳定的。

系统稳定性与传递函数稳定性

定理：如果 $\Sigma$ 是一个稳定的有限维 LTI 系统，则其传递函数 $G(s)$ 是稳定的。

证明：传递函数由 $G(s)=C(sI-A{)}^{-1}B+D$ 给定。其极点集合是矩阵 $A$ 特征值集合 $\sigma (A)$ 的子集。若 $\Sigma$ 稳定，则 $\sigma (A)\subset {\mathbb{C}}_{-}$，故 $G$ 的极点也均在 ${\mathbb{C}}_{-}$。

逆命题通常不成立：

• 如果 $A$ 不稳定，但由于零极点对消 (Pole-Zero Cancellation) 或系统存在不可控/不可观 (Uncontrollable/Unobservable) 模态，$G(s)$ 仍可能表现为稳定。
• 反例：设 $A$ 不稳定，但 $C=0$（或 $B=0$），则 $G(s)=D$（常数矩阵），这显然是稳定的，但内部系统状态 $x(t)$ 可能发散。
• 例外：对于最小实现 (Minimal Systems)（即既可控又可观的系统），逆命题成立：$G$ 稳定 $⟺\Sigma$ 稳定。