Control Theory

本节中考虑 线性系统与传递函数 中定义的线性系统与传递函数。

稳定性定义

定义(系统稳定性)：系统 $\Sigma$ 被称为稳定 (Stable)，如果当 $t\to \infty$ 时：

$$e^{At}\to 0$$

这意味着：若输入 $u=0$，从任意初始状态 $x(0)$ 出发，状态轨迹 $x(t)=e^{At}x(0)$ 均趋于零。

输入-输出关系：任意输入 $u$ (需具备拉普拉斯变换) 下的输出 $y$ 的拉普拉斯变换为：

$$\hat{y}(s)=\underset{\text{输入响应}}{\underbrace{G(s)\hat{u}(s)}}+\underset{\text{初始状态响应}}{\underbrace{C(sI-A{)}^{-1}x(0)}}$$

• 定义信号能量为 ${\int }_0^{\infty }|u(t){|}^{2}dt$。
• 若 $\Sigma$ 稳定且 $u$ 具有有限能量，则输出 $y$ 也具有有限能量。

稳定性判据：特征值角度

定理(充要条件)：系统 $\Sigma$ 是稳定的，当且仅当矩阵 $A$ 的谱 $\sigma (A)$ 完全位于左半复平面。

$$\Sigma \text{ is stable}⟺\sigma (A)\subset {\mathbb{C}}_{-}$$

其中开左半平面定义为 ${\mathbb{C}}_{-}=\{s\in \mathbb{C}\mid \text{Re }s<0\}$

证明：利用 Jordan 标准型分解，存在非奇异矩阵 $P$ 使得 $A=PJ{P}^{-1}$，其中 $J$ 为 Jordan 标准型矩阵。状态转移矩阵为：

$$e^{At}=P{e}^{Jt}{P}^{-1}$$

由于 $J=\text{diag}(J_1,J_2,\dots ,J_k)$ 是块对角矩阵，其中 $J_i$ 是对应于特征值 ${\lambda }_i$ 的 Jordan 块，故 $e^{Jt}=\text{diag}(e^{J_{1}t},e^{J_{2}t},\dots ,e^{J_{k}t})$。考察单个 $m$ 阶 Jordan 块 $J_i$ 的矩阵指数。对于特征值 ${\lambda }_i$，其 Jordan 块形式为：

$$J_i={\lambda }_{i}I+N=\left[\begin{array}{cccc}{\lambda }_i& 1& & \\ & \ddots & \ddots & \\ & & \ddots & 1\\ & & & {\lambda }_i\end{array}\right]$$

根据矩阵指数性质 $e^{({\lambda }_{i}I+N)t}=e^{{\lambda }_{i}t}{e}^{Nt}$，展开可得具体的上三角形式：

$$e^{J_{i}t}=e^{{\lambda }_{i}t}\left[\begin{array}{ccccc}1& t& \frac{t^2}{2!}& \cdots & \frac{t^{m-1}}{(m-1)!}\\ 0& 1& t& \cdots & \frac{t^{m-2}}{(m-2)!}\\ ⋮& ⋮& \ddots & \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & 1& t\\ 0& 0& \cdots & 0& 1\end{array}\right]$$

可以看出，$e^{At}$ 的每个元素都是形如 $c\cdot t^k{e}^{{\lambda }_{i}t}$ 的项的线性组合，其中 $0\le k<m$。当 $t\to \infty$ 时，要使系统稳定（即 $e^{At}\to 0$），必须要求矩阵中所有元素趋于零。 利用极限性质：

$$\underset{t\to \infty }{\lim }{t}^k{e}^{{\lambda }_{i}t}=0⟺\text{Re}({\lambda }_i)<0$$

(即使 $t^k$ 随时间增大，只要 ${\lambda }_i$ 有负实部，指数衰减项 $e^{\text{Re}({\lambda }_i)t}$ 最终会主导并使整体趋于零)。因此，系统稳定的充要条件是所有特征值的实部严格小于零，即 $\text{Re}({\lambda }_i)<0,\forall i$。

定义 (临界稳定)：若 $\sigma (A)\subset {\mathbb{C}}_{-}\cup i\mathbb{R}$（即特征值位于左半平面或虚轴上），称 LTI 系统为临界稳定 (Marginally Stable)。

我们仅考虑矩阵 $A$ 为实矩阵 ($A\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$) 的情况，其特征多项式 $p(s)$ 如下，此时系数 $a_j$ 均为实数：

$$p(s)=\det (sI-A)=s^n+a_{n-1}{s}^{n-1}+a_{n-2}{s}^{n-2}+\cdots +a_{1}s+a_0$$

定理(必要条件)：如果 $A$ 是实矩阵且稳定的，则其特征多项式的所有系数必须严格大于零。

$$A\text{ 稳定 }⟹a_j>0(0\le j\le n-1)$$

• 对于 $n=1$ 或 $n=2$，该条件也是充分的。
• 对于 $n\ge 3$，仅检查 $a_j>0$ 是不够的（不充分）。
• 当 $n\ge 5$ 时，不存在通用的根式公式来求解多项式的零点，通常需要数值近似。

证明：设 $p(s)$ 的根为 ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n$。由于 $A$ 稳定，所有 ${\lambda }_i$ 均位于左半开平面。 因为 $p(s)$ 是实系数多项式，其根要么是实数，要么是共轭复数对。

• 实根 $\lambda =-\alpha$ ($\alpha >0$) 对应的因子为 $(s+\alpha )$，系数均为正。
• 共轭复根对 $\lambda =-\alpha \pm i\beta$ ($\alpha >0,\beta \ne 0$) 对应的因子乘积为 $(s+\alpha -i\beta )(s+\alpha +i\beta )=(s+\alpha {)}^2+{\beta }^2=s^2+2\alpha s+({\alpha }^2+{\beta }^2)$。由于 $\alpha >0$，该二次多项式的系数也均为正。

$p(s)$ 可以分解为上述一阶和二阶因子的乘积。由于具有正系数的多项式之积仍具有正系数，因此 $p(s)$ 的所有系数 $a_j$ 必须严格大于零。

劳斯判据 (Routh Test)

为了在不计算特征值的情况下确定 $A$ 的稳定性，我们可以使用 劳斯判据 (Routh Test)。仅当已确认所有系数 $a_j>0$ 后才构建劳斯表。若任一系数 $\le 0$，则 $A$ 不稳定，无需建表。

为什么 $a_j\le 0$ 代表 $A$ 不稳定：上述“必要条件”定理的逆否命题。

劳斯表 (Routh Table)：构造如下表格（共 $n+1$ 行）

$$\begin{array}{cccccc}{s}^n& 1& a_{n-2}& a_{n-4}& a_{n-6}& \cdots \\ s^{n-1}& a_{n-1}& a_{n-3}& a_{n-5}& a_{n-7}& \cdots \\ s^{n-2}& b_1& b_2& b_3& b_4& \cdots \\ s^{n-3}& c_1& c_2& c_3& c_4& \cdots \\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& \end{array}$$

计算公式：后续行的元素由前两行计算得出。第 $j$ 个元素 $b_j$ 的计算公式为：

$$b_1=\frac{-1}{a_{n-1}}\det \left[\begin{array}{cc}1& a_{n-2}\\ a_{n-1}& a_{n-3}\end{array}\right],b_2=\frac{-1}{a_{n-1}}\det \left[\begin{array}{cc}1& a_{n-4}\\ a_{n-1}& a_{n-5}\end{array}\right],\dots$$

同理，下一行 $c_j$ 由 $a$ 行（作为前前行）和 $b$ 行（作为前一行）计算：

$$c_1=\frac{-1}{b_1}\det \left[\begin{array}{cc}{a}_{n-1}& a_{n-3}\\ b_1& b_2\end{array}\right],c_2=\frac{-1}{b_1}\det \left[\begin{array}{cc}{a}_{n-1}& a_{n-5}\\ b_1& b_3\end{array}\right],\dots$$

定理(Routh Test)：系统稳定的充要条件是劳斯表第一列的所有元素均严格大于零。第一列符号改变的次数等于位于右半平面的特征值个数。

证明 (核心思路)：劳斯判据的结论并不平凡，它将复平面根的分布问题转化为了代数运算。其证明主要依赖于 柯西辐角原理 (Cauchy's Argument Principle) 和 施图姆定理 (Sturm's Theorem)。

• 辐角原理：考察特征多项式 $p(s)$ 沿“奈奎斯特围线”（包围整个右半平面）的映射。若系统稳定（无右半平面根），则当 $s$ 沿虚轴从 $-i\infty$ 变化到 $+i\infty$ 时，相角 $\arg p(i\omega )$ 的总变化量必须满足特定条件（即净旋转角度与阶数相关）。
• 实部与虚部交替：在虚轴上 $s=i\omega$，多项式可写为实部与虚部之和：$p(i\omega )=u(\omega )+jv(\omega )$。可以证明，系统稳定的充要条件等价于 $u(\omega )$ 和 $v(\omega )$ 的实根在频率轴上交替出现 (Interlacing Property)。
• 欧几里得辗转相除：劳斯表的构造过程（行与行之间的递推计算），本质上是对多项式的偶次部分 $p_{even}(s)$ 和奇次部分 $p_{odd}(s)$ 进行欧几里得多项式除法。

结论：劳斯表第一列的符号序列，实际上反映了施图姆序列 (Sturm Sequence) 的符号变化次数。第一列全为正，严格对应于根的完美交替，从而保证所有特征值均在左半平面。

示例 ($n=3$)：考虑特征多项式 $p(s)=s^3+a_2{s}^2+a_{1}s+a_0$，其劳斯表如下：

$$\begin{array}{ccc}{s}^3& 1& a_1\\ s^2& a_2& a_0\\ s^1& b_1& 0\\ s^0& c_1& 0\end{array}$$

计算得：

$$b_1=\frac{-1}{a_2}\det \left[\begin{array}{cc}1& a_1\\ a_2& a_0\end{array}\right]=\frac{a_0-a_1{a}_2}{-a_2}=\frac{a_1{a}_2-a_0}{a_2}$$

$$c_1=\frac{-1}{b_1}\det \left[\begin{array}{cc}{a}_2& a_0\\ b_1& 0\end{array}\right]=\frac{-(-a_0{b}_1)}{b_1}=a_0$$

因此 $A$ 稳定的充要条件是劳斯表第一列全为正，即：

$$a_2>0,a_0>0,\frac{a_1{a}_2-a_0}{a_2}>0⟹a_1{a}_2>a_0$$

(注：由于 $a_2,a_0>0$ 且 $a_1{a}_2>a_0$，这也隐含了 $a_1>0$)

定理 (不稳定性判据)：如果 $A$ 不稳定，且劳斯表第一列中的所有数字均非零，则 $A$ 的不稳定特征值（位于 ${\mathbb{C}}_{+}$ 中）的个数等于劳斯表第一列符号改变的次数。