Control Theory

拉普拉斯变换 (Laplace Transform) 概念

定义 (单边拉普拉斯变换) 设 $f(t)$ 为定义在 $t\ge 0$ 上的实函数。其单边拉普拉斯变换定义为：

$$F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}\triangleq {\int }_{0^{-}}^{\infty }f(t)e^{-st}dt$$

• $s\in \mathbb{C}$：复频率变量，$s=\sigma +j\omega$。
• $0^{-}$ 下限：积分下限取 $0^{-}$ 是为了包含 $t=0$ 处的狄拉克 $\delta$ 函数（冲击）或其导数。

定义 (收敛域, ROC)：使得积分 ${\int }_{0^{-}}^{\infty }|f(t)e^{-st}|dt<\infty$ 收敛的 $s$ 值集合，称为收敛域 (Region of Convergence)。通常形式为 $\text{Re}(s)>{\sigma }_0$，其中 ${\sigma }_0$ 为收敛横坐标。

充分条件 (存在性)：若 $f(t)$ 满足以下条件，则 $\mathcal{L}\{f(t)\}$ 在 $\text{Re}(s)>\alpha$ 处绝对收敛。

• 在任意有限区间上分段连续；
• 具有指数阶 (Exponential order)，即存在常数 $M,\alpha >0$，使得 $|f(t)|\le M{e}^{\alpha t}$ 对所有 $t$ 成立；

拉普拉斯变换的核心性质

微分性质 (Differentiation)：

$$\mathcal{L}\{f^{\prime }(t)\}=sF(s)-f(0^{-})$$

推广至 $n$ 阶：

$$\mathcal{L}\{f^{(n)}(t)\}=s^{n}F(s)-\sum _{k=1}^n{s}^{n-k}{f}^{(k-1)}(0^{-})$$

证明：利用分部积分法 (Integration by parts)，令 $u=e^{-st},dv=f^{\prime }(t)dt$，则 $du=-s{e}^{-st}dt,v=f(t)$。

$$\begin{array}{rl}\mathcal{L}\{f^{\prime }(t)\}& ={\int }_{0^{-}}^{\infty }{f}^{\prime }(t)e^{-st}dt\\ & ={\left[f(t)e^{-st}\right]}_{0^{-}}^{\infty }-{\int }_{0^{-}}^{\infty }f(t)(-s{e}^{-st})dt\\ & =\left(\underset{t\to \infty }{\lim }f(t)e^{-st}-f(0^{-})\right)+s{\int }_{0^{-}}^{\infty }f(t)e^{-st}dt\end{array}$$

在 ROC 内，$\text{Re}(s)$ 足够大使得 ${\lim }_{t\to \infty }f(t)e^{-st}=0$。

$$\mathcal{L}\{f^{\prime }(t)\}=-f(0^{-})+sF(s)$$

积分性质 (Integration)

$$\mathcal{L}\left\{{\int }_{0^{-}}^{t}f(\tau )d\tau \right\}=\frac{1}{s}F(s)$$

证明：设 $g(t)={\int }_{0^{-}}^{t}f(\tau )d\tau$，则 $g^{\prime }(t)=f(t)$ 且 $g(0^{-})=0$。 根据微分性质：

$$\mathcal{L}\{g^{\prime }(t)\}=sG(s)-g(0^{-})⟹\mathcal{L}\{f(t)\}=sG(s)$$

$$G(s)=\frac{1}{s}F(s)$$

卷积定理 (Convolution Theorem)：时域卷积对应频域乘积。这是 LTI 系统 $Y(s)=G(s)U(s)$ 的理论基础。

$$\mathcal{L}\{(f\ast g)(t)\}=F(s)G(s)$$

其中 $(f\ast g)(t)\triangleq {\int }_0^{t}f(\tau )g(t-\tau )d\tau$。

证明：

$$\begin{array}{rl}\mathcal{L}\{f\ast g\}& ={\int }_0^{\infty }\left({\int }_0^{t}f(\tau )g(t-\tau )d\tau \right)e^{-st}dt\end{array}$$

时不变系统概念与分类

定义(线性时不变系统)：考虑线性时不变 (LTI) 系统 $\Sigma$，其状态空间方程 (State-space equations) 描述如下：

$$\{\begin{array}{l}\dot{x}(t)=Ax(t)+Bu(t)\\ y(t)=Cx(t)+Du(t)\end{array}$$

• $x(t)\in {\mathbb{C}}^n$：状态向量 (State)，$n$ 为系统的阶数 (Order)。例如弹簧伸长度这种无方向的状态一般用实数，例如旋转球体的位置/交流电则可以用复数。
• $u(t)\in {\mathbb{C}}^m$：输入向量 (Input)。
• $y(t)\in {\mathbb{C}}^p$：输出向量 (Output)。
• $A\in {\mathbb{C}}^{n\times n},B\in {\mathbb{C}}^{n\times m},C\in {\mathbb{C}}^{p\times n},D\in {\mathbb{C}}^{p\times m}$。实数和复数本质上等价，但是复数用一个维度即可描述旋转，而实数要用两个维度，因此复数维度更低。

系统解析解：使用常数变易法可解出上述系统的解析解

$$x(t)=\underset{\text{零输入响应}}{\underbrace{e^{At}x(0)}}+\underset{\text{零状态响应}}{\underbrace{{\int }_0^t{e}^{A(t-\tau )}Bu(\tau )d\tau }}$$

$$y(t)=C{e}^{At}x(0)+\left[C{\int }_0^t{e}^{A(t-\tau )}Bu(\tau )d\tau +Du(t)\right]$$

• $e^{At}=I+At+\frac{(At{)}^2}{2!}+\dots$ 称为状态转移矩阵 (State Transition Matrix)，它描述了系统在没有外部输入时，初始状态如何随时间自然演化。
• ${\int }_0^t{e}^{A(t-\tau )}Bu(\tau )d\tau$ 表示过去所有时刻输入 $u(\tau )$ 对当前时刻 $t$ 的状态产生的累积影响。这是系统的“记忆”体现。
• 零输入响应 (Zero-Input Response)：仅由初始能量 $x(0)$ 引起，与输入无关。
• 零状态响应 (Zero-State Response)：仅由外部输入 $u(t)$ 引起，假设初始状态为零。

根据输入输出分类：SISO (单输入单输出) $m=1,p=1$；MISO (多输入单输出): $m>1,p=1$；MIMO（多输入多输出）$m>1,p>1$

根据维度分类：当 $n$ 为有限值时（即矩阵 $A,B,C$ 为有限维）称之为有限维系统；当 $n\to \infty$ 则称之为无限维系统（如延迟线、热传导、波传播等）。

本节我们对系数 $\dot{x}(t)=Ax(t)$ 进行深入分析，详细讲解 $A$ 如何决定着系统的动力学行为。

系统定义

定义(线性自治系统)：考虑如下一阶常微分方程组：

$$\dot{x}(t)=Ax(t)$$

其中 $x(t)\in {\mathbb{F}}^n$ 为状态向量，$A\in {\mathbb{F}}^{n\times n}$ 为常数矩阵（$\mathbb{F}$ 可为 $\mathbb{R}$ 或 $\mathbb{C}$）。

定理(通解)：上述系统的解由矩阵指数给出：

$$x(t)=e^{At}x(0)$$

定理(特解)：若 $v$ 是 $A$ 的特征向量，对应的特征值为 $\lambda$，且初值 $x(0)=cv$，则特解为：

$$x(t)=c{e}^{\lambda t}v$$

注：一般解是这些特解的线性组合（假设 $A$ 可对角化）。因此，分析 $\lambda$ 的性质即等同于分析系统行为。

特征值分解

特征值分解：设矩阵 $A$ 的特征值为复数 $\lambda =\alpha +i\beta$，其中 $\alpha ,\beta \in \mathbb{R}$。根据欧拉公式，解的时间项可以分解为

$$e^{\lambda t}=e^{(\alpha +i\beta )t}=\underset{\text{幅值缩放}}{\underbrace{e^{\alpha t}}}(\underset{\text{相位旋转/振荡}}{\underbrace{\cos (\beta t)+i\sin (\beta t)}})$$

• 实部 $\alpha =\text{Re}(\lambda )$ 决定了轨道模长的变化趋势（增长或衰减速率）
  • $\alpha <0$ (耗散/收敛)：因子 $e^{\alpha t}\to 0$ (当 $t\to \infty$)。系统能量耗散，状态沿特征向量方向收敛向原点。
  • $\alpha >0$ (发散/膨胀)：因子 $e^{\alpha t}\to \infty$。系统能量输入，状态沿特征向量方向指数级远离原点。
  • $\alpha =0$ (保守)：$e^{0t}=1$。模长不随时间指数变化（可能保持常数或代数增长）。
• 虚部 $\beta =\text{Im}(\lambda )$ 决定了系统在相空间中的旋转或振荡频率
  • $\beta \ne 0$：引入了振荡分量 $e^{i\beta t}$。在实空间投影下表现为正弦/余弦波；在复空间表现为相位旋转。
  • $\beta =0$：纯实数特征值，无振荡，系统行为是单调的（直接趋向或远离原点）。

物理模型构建

定义(物理模型)：考虑一个质量为 $m$ 的物体，连接在刚度为 $k$ 的弹簧和阻尼系数为 $c$ 的阻尼器上。根据牛顿第二定律：

$$m\ddot{y}+c\dot{y}+ky=0$$

• $y(t)$ 为位移，单位 $m$，往外为正，往内为负；
• $m$ 为质量，单位 $kg$，根据牛顿第二定律 $F=ma$；
• $k$ 为弹簧劲度系数，单位 $kg/s^2$，力大小与距离 $y(t)$ 成正比；
• $c$ 为阻尼器，单位 $kg/s$，力大小与速度 $\dot{y}(t)$ 成正比。

推导：假设物体在往右运动，速度为 $\dot{y}$。则弹簧力往左，大小为 $ky(t)$；阻尼力往左，大小为 $c\dot{y}(t)$。根据牛顿第二定律 $F=ma$：

$$-ky-c\dot{y}=m\ddot{y}\Rightarrow m\ddot{y}+c\dot{y}+ky=0.$$

状态空间形式：引入状态向量 $x=\left(\begin{array}{c}y\\ \dot{y}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\text{位置}\\ \text{速度}\end{array}\right)$。 则 ${\dot{x}}_1=x_2$，且 ${\dot{x}}_2=-\frac{k}{m}{x}_1-\frac{c}{m}{x}_2$。 写作矩阵形式 $\dot{x}=Ax$：

$$\dot{x}=Ax=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -\frac{k}{m}& -\frac{c}{m}\end{array}\right)x.$$

无量纲数：取无量纲数阻尼比 $\zeta =\frac{c}{2\sqrt{km}}$，固有频率 ${\omega }_n=\sqrt{\frac{k}{m}}$ （不是无量纲数）。此时特征方程 $\det (\lambda I-A)={\lambda }^2+2\zeta {\omega }_n\lambda +{\omega }_n^2=0$ 的根为：

$${\lambda }_{1,2}=-\zeta {\omega }_n\pm {\omega }_n\sqrt{{\zeta }^2-1}$$

$\zeta$ 无量纲数的理解：当 $\zeta >1$ 时，$\lambda$ 均为实数，此时系统只是单纯的指数衰减；当 $\zeta <1$ 时，$\lambda$ 是复数，而复数代表着振动，弹簧会来回摆动；当 $\zeta =1$ 时，弹簧在振荡与不振荡的临界状态。因此 $\zeta$ 决定着整个系统的性质。

谱分析与物理现象的对应

我们将根据 $\zeta$ 的不同取值，分析特征值 $\lambda =\alpha +i\beta$ 的结构及其对应的物理运动。

情形 1 无阻尼振动 (Undamped)：$c=0⟹\zeta =0$ (无摩擦)。 特征值：

$$\lambda =\pm i{\omega }_n\Rightarrow \alpha =0,\beta ={\omega }_n$$

• 几何意义：纯虚数特征值，对应相图中的中心 (Center)。
• 物理表现：实部 $\alpha =0$ 表示能量守恒，振幅不衰减。虚部 $\beta ={\omega }_n$ 表示系统以固有频率进行永恒的简谐振动。
• 轨道是封闭的椭圆。

情形 2 欠阻尼振动 (Underdamped)：最常见的情形，小阻尼 $0<\zeta <1$。特征值：

$$\lambda =-\zeta {\omega }_n\pm i\underset{{\omega }_d}{\underbrace{{\omega }_n\sqrt{1-{\zeta }^2}}}\Rightarrow \alpha =-\zeta {\omega }_n<0,\beta ={\omega }_d\ne 0$$

• 几何意义：复数特征值且实部为负，对应稳定焦点 (Stable Spiral)。
• 物理表现：实部 $\alpha <0$，振幅按 $e^{-\zeta {\omega }_{n}t}$ 指数衰减。虚部 $\beta \ne 0$，系统仍在往复振动，但频率略低于固有频率 (${\omega }_d<{\omega }_n$)。
• 物体在平衡位置附近来回摆动，幅度越来越小。

情形 3 过阻尼 (Overdamped)：大阻尼 $\zeta >1$ (如在蜂蜜中运动)。特征值：

$${\lambda }_{1,2}=-\zeta {\omega }_n\pm {\omega }_n\sqrt{{\zeta }^2-1}\Rightarrow {\alpha }_{1,2}<0,\beta =0$$

• 几何意义：两个负实数特征值，对应稳定节点 (Stable Node)。
• 物理表现：虚部 $\beta =0$，没有振荡，物体不会越过平衡位置来回摆动。实部 $\alpha <0$，物体只是缓慢地、单调地滑回平衡位置。

情形 4 负阻尼 (Negative Damping)：系统失稳，$c<0$ (系统外界不断输入能量，如风吹过大桥引起的颤振)。特征值实部变号：

$$\alpha >0$$

• 几何意义：实部为正，对应不稳定焦点/节点。
• 物理表现：实部 $\alpha >0$，振幅按指数规律爆炸式增长 ($e^{\alpha t}\to \infty$)。
• 这是导致机械结构破坏的主要原因（如塔科马海峡大桥倒塌）。

本节考虑 线性系统概念 中的线性系统。

传递函数的意义在于将复杂的【微积分问题】转换为简单的【代数问题】。

传递函数概念

定义(传递函数)：传递函数 $G(s)$ 定义为零初始条件 $x(0)=0$ 下，输入信号的 Laplace 变换 $Y(s)$ 与输出信号的 Laplace 变换 $U(s)$ 的比值：

$$G(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}.$$

命题：上述线性 LTI 系统 $\Sigma$ 的传递函数 $G(s)$ 为：

$$G(s)=C(sI-A{)}^{-1}B+D(\text{for }s\notin \sigma (A))$$

其中 $\sigma (A)$ 是 $A$ 的特征值组成的集合(Spectrum)。

证明：对输入方程两边同时进行 Laplace 变换，并代入 $x(0)=0$：

$$sX(s)-x(0)=AX(s)+BU(s)\Rightarrow (sI-A)X(s)=BU(s)$$

当 $s\notin \sigma (A)$ 时，$(sI-A)$ 可逆，解得状态向量的变换：

$$X(s)=(sI-A{)}^{-1}BU(s)$$

对输出方程进行 Laplace 变换，并代入 $X(s)$

$$Y(s)=CX(s)+DU(s)$$

$$Y(s)=C\left[(sI-A{)}^{-1}BU(s)\right]+DU(s)$$

$$Y(s)=\left[C(sI-A{)}^{-1}B+D\right]U(s)$$

由此可见，定义 $G(s)=C(sI-A{)}^{-1}B+D$ 建立了关系 $Y(s)=G(s)U(s)$。

输入-输出关系：任意输入 $u$ (需具备拉普拉斯变换) 下的输出 $y$ 的拉普拉斯变换为：

$$Y(s)=\underset{\text{输入响应}}{\underbrace{G(s)U(s)}}+\underset{\text{初始状态响应}}{\underbrace{C(sI-A{)}^{-1}x(0)}}$$

转移函数的性质

性质(有理函数)：矩阵 $G$ 的每个元素都是两个多项式的比值。

证明：根据矩阵求逆公式，对于非奇异矩阵 $M$，有 $M^{-1}=\frac{\text{adj}(M)}{\det (M)}$，其中 $\text{adj}(\cdot )$ 表示伴随矩阵 (Adjugate matrix)。令 $M=(sI-A)$，则：

$$(sI-A{)}^{-1}=\frac{\text{adj}(sI-A)}{\det (sI-A)}$$

• 分母：$\det (sI-A)$ 是矩阵 $A$ 的特征多项式，为关于 $s$ 的 $n$ 次多项式。
• 分子：$\text{adj}(sI-A)$ 的每个元素是 $(sI-A)$ 的代数余子式，即 $(n-1)\times (n-1)$ 子矩阵的行列式。因此，其元素均为关于 $s$ 的多项式，且最高次数不超过 $n-1$。

由于 $B,C,D$ 均为常数矩阵，它们的线性组合不改变“多项式比值”的性质。因此 $G(s)$ 的每个元素均为有理函数，且分母为 $\det (sI-A)$ (或其因子)。

性质(正则)：当 $s\to \infty$ 时，传递函数趋于有限常值矩阵，即：

$$\underset{s\to \infty }{\lim }G(s)=D<\infty$$

证明：考察项 $(sI-A{)}^{-1}$ 当 $s\to \infty$ 时的极限：

$$(sI-A{)}^{-1}={\left[s(I-\frac{1}{s}A)\right]}^{-1}=\frac{1}{s}{\left(I-\frac{1}{s}A\right)}^{-1}$$

当 $s\to \infty$ 时，$\frac{1}{s}A\to 0$，故 $(I-\frac{1}{s}A{)}^{-1}\to I$。 因此：

$$\underset{s\to \infty }{\lim }(sI-A{)}^{-1}=0\cdot I=0$$

代入 $G(s)$ 的定义式：

$$\begin{array}{rl}\underset{s\to \infty }{\lim }G(s)& =C\left(\underset{s\to \infty }{\lim }(sI-A{)}^{-1}\right)B+D\\ & =C\cdot 0\cdot B+D\\ & =D\end{array}$$

证毕。若 $D=0$（严格正则），则 ${\lim }_{s\to \infty }G(s)=0$。

$G(s)$ 的极点：$G(s)$ 的极点（若 $s$ 满足对任意 $g_{ij}(s)\to \infty$ 则是极点）是 $\sigma (A)$ 的子集，即是 $A$ 的特征值。

$$\text{poles of }G\subseteq \sigma (A)$$

证明：根据有理函数性质可知。

本节中考虑 线性系统概念 中定义的线性系统与传递函数。

稳定性定义

定义(稳定性)：系统 $\Sigma$ 被称为稳定 (Stable)，如果当 $t\to \infty$ 时：

$$e^{At}\to \mathcal{O}$$

其中 $\mathcal{O}$ 为全零矩阵。这意味着若输入 $u=0$，从任意初始状态 $x(0)$ 出发，状态轨迹 $x(t)=e^{At}x(0)$ 均趋于零。

定义 (临界稳定)：若 $\sigma (A)\subset {\mathbb{C}}_{-}\cup i\mathbb{R}$（即特征值位于左半平面或虚轴上），称 LTI 系统为临界稳定 (Marginally Stable)。

稳定性判据：特征值角度

定理(充要条件)：系统 $\Sigma$ 是稳定的，当且仅当矩阵 $A$ 的谱 $\sigma (A)$ 完全位于左半复平面。

$$\Sigma \text{ is stable}⟺\sigma (A)\subset {\mathbb{C}}_{-}$$

其中开左半平面定义为 ${\mathbb{C}}_{-}=\{s\in \mathbb{C}\mid \text{Re }s<0\}$

证明：利用 Jordan 标准型分解，存在非奇异矩阵 $P$ 使得 $A=PJ{P}^{-1}$，其中 $J$ 为 Jordan 标准型矩阵。状态转移矩阵为：

$$e^{At}=P{e}^{Jt}{P}^{-1}$$

由于 $J=\text{diag}(J_1,J_2,\dots ,J_k)$ 是块对角矩阵，其中 $J_i$ 是对应于特征值 ${\lambda }_i$ 的 Jordan 块，故 $e^{Jt}=\text{diag}(e^{J_{1}t},e^{J_{2}t},\dots ,e^{J_{k}t})$。考察单个 $m$ 阶 Jordan 块 $J_i$ 的矩阵指数。对于特征值 ${\lambda }_i$，其 Jordan 块形式为：

$$J_i={\lambda }_{i}I+N=\left[\begin{array}{cccc}{\lambda }_i& 1& & \\ & \ddots & \ddots & \\ & & \ddots & 1\\ & & & {\lambda }_i\end{array}\right]$$

根据矩阵指数性质 $e^{({\lambda }_{i}I+N)t}=e^{{\lambda }_{i}t}{e}^{Nt}$，展开可得具体的上三角形式：

$$e^{J_{i}t}=e^{{\lambda }_{i}t}\left[\begin{array}{ccccc}1& t& \frac{t^2}{2!}& \cdots & \frac{t^{m-1}}{(m-1)!}\\ 0& 1& t& \cdots & \frac{t^{m-2}}{(m-2)!}\\ ⋮& ⋮& \ddots & \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & 1& t\\ 0& 0& \cdots & 0& 1\end{array}\right]$$

可以看出，$e^{At}$ 的每个元素都是形如 $c\cdot t^k{e}^{{\lambda }_{i}t}$ 的项的线性组合，其中 $0\le k<m$。当 $t\to \infty$ 时，要使系统稳定（即 $e^{At}\to 0$），必须要求矩阵中所有元素趋于零。 利用极限性质：

$$\underset{t\to \infty }{\lim }{t}^k{e}^{{\lambda }_{i}t}=0⟺\text{Re}({\lambda }_i)<0$$

(即使 $t^k$ 随时间增大，只要 ${\lambda }_i$ 有负实部，指数衰减项 $e^{\text{Re}({\lambda }_i)t}$ 最终会主导并使整体趋于零)。因此，系统稳定的充要条件是所有特征值的实部严格小于零，即 $\text{Re}({\lambda }_i)<0,\forall i$。

我们仅考虑矩阵 $A$ 为实矩阵 ($A\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$) 的情况，其特征多项式 $p(s)$ 如下，此时系数 $a_j$ 均为实数：

$$p(s)=\det (sI-A)=s^n+a_{n-1}{s}^{n-1}+a_{n-2}{s}^{n-2}+\cdots +a_{1}s+a_0$$

定理(必要条件)：如果 $A$ 是实矩阵且稳定的，则其特征多项式的所有系数必须严格大于零。

$$A\text{ 稳定 }⟹a_j>0(0\le j\le n-1)$$

• 对于 $n=1$ 或 $n=2$，该条件也是充分的。
• 对于 $n\ge 3$，仅检查 $a_j>0$ 是不够的（不充分）。
• 当 $n\ge 5$ 时，不存在通用的根式公式来求解多项式的零点，通常需要数值近似。

证明：设 $p(s)$ 的根为 ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n$。由于 $A$ 稳定，所有 ${\lambda }_i$ 均位于左半开平面。 因为 $p(s)$ 是实系数多项式，其根要么是实数，要么是共轭复数对。

• 实根 $\lambda =-\alpha$ ($\alpha >0$) 对应的因子为 $(s+\alpha )$，系数均为正。
• 共轭复根对 $\lambda =-\alpha \pm i\beta$ ($\alpha >0,\beta \ne 0$) 对应的因子乘积为 $(s+\alpha -i\beta )(s+\alpha +i\beta )=(s+\alpha {)}^2+{\beta }^2=s^2+2\alpha s+({\alpha }^2+{\beta }^2)$。由于 $\alpha >0$，该二次多项式的系数也均为正。

$p(s)$ 可以分解为上述一阶和二阶因子的乘积。由于具有正系数的多项式之积仍具有正系数，因此 $p(s)$ 的所有系数 $a_j$ 必须严格大于零。

劳斯判据 (Routh Test)

为了在不计算特征值的情况下确定 $A$ 的稳定性，我们可以使用 劳斯判据 (Routh Test)。仅当已确认所有系数 $a_j>0$ 后才构建劳斯表。若任一系数 $\le 0$，则 $A$ 不稳定，无需建表。

为什么 $a_j\le 0$ 代表 $A$ 不稳定：上述“必要条件”定理的逆否命题。

劳斯表 (Routh Table)：构造如下表格（共 $n+1$ 行）

$$\begin{array}{cccccc}{s}^n& 1& a_{n-2}& a_{n-4}& a_{n-6}& \cdots \\ s^{n-1}& a_{n-1}& a_{n-3}& a_{n-5}& a_{n-7}& \cdots \\ s^{n-2}& b_1& b_2& b_3& b_4& \cdots \\ s^{n-3}& c_1& c_2& c_3& c_4& \cdots \\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& \end{array}$$

计算公式：后续行的元素由前两行计算得出。第 $j$ 个元素 $b_j$ 的计算公式为：

$$b_1=\frac{-1}{a_{n-1}}\det \left[\begin{array}{cc}1& a_{n-2}\\ a_{n-1}& a_{n-3}\end{array}\right],b_2=\frac{-1}{a_{n-1}}\det \left[\begin{array}{cc}1& a_{n-4}\\ a_{n-1}& a_{n-5}\end{array}\right],\dots$$

同理，下一行 $c_j$ 由 $a$ 行（作为前前行）和 $b$ 行（作为前一行）计算：

$$c_1=\frac{-1}{b_1}\det \left[\begin{array}{cc}{a}_{n-1}& a_{n-3}\\ b_1& b_2\end{array}\right],c_2=\frac{-1}{b_1}\det \left[\begin{array}{cc}{a}_{n-1}& a_{n-5}\\ b_1& b_3\end{array}\right],\dots$$

定理(Routh Test)：系统稳定的充要条件是劳斯表第一列的所有元素均严格大于零。第一列符号改变的次数等于位于右半平面的特征值个数。

证明 (核心思路)：劳斯判据的结论并不平凡，它将复平面根的分布问题转化为了代数运算。其证明主要依赖于 柯西辐角原理 (Cauchy's Argument Principle) 和 施图姆定理 (Sturm's Theorem)。

• 辐角原理：考察特征多项式 $p(s)$ 沿“奈奎斯特围线”（包围整个右半平面）的映射。若系统稳定（无右半平面根），则当 $s$ 沿虚轴从 $-i\infty$ 变化到 $+i\infty$ 时，相角 $\arg p(i\omega )$ 的总变化量必须满足特定条件（即净旋转角度与阶数相关）。
• 实部与虚部交替：在虚轴上 $s=i\omega$，多项式可写为实部与虚部之和：$p(i\omega )=u(\omega )+jv(\omega )$。可以证明，系统稳定的充要条件等价于 $u(\omega )$ 和 $v(\omega )$ 的实根在频率轴上交替出现 (Interlacing Property)。
• 欧几里得辗转相除：劳斯表的构造过程（行与行之间的递推计算），本质上是对多项式的偶次部分 $p_{even}(s)$ 和奇次部分 $p_{odd}(s)$ 进行欧几里得多项式除法。

结论：劳斯表第一列的符号序列，实际上反映了施图姆序列 (Sturm Sequence) 的符号变化次数。第一列全为正，严格对应于根的完美交替，从而保证所有特征值均在左半平面。

示例 ($n=3$)：考虑特征多项式 $p(s)=s^3+a_2{s}^2+a_{1}s+a_0$，其劳斯表如下：

$$\begin{array}{ccc}{s}^3& 1& a_1\\ s^2& a_2& a_0\\ s^1& b_1& 0\\ s^0& c_1& 0\end{array}$$

计算得：

$$b_1=\frac{-1}{a_2}\det \left[\begin{array}{cc}1& a_1\\ a_2& a_0\end{array}\right]=\frac{a_0-a_1{a}_2}{-a_2}=\frac{a_1{a}_2-a_0}{a_2}$$

$$c_1=\frac{-1}{b_1}\det \left[\begin{array}{cc}{a}_2& a_0\\ b_1& 0\end{array}\right]=\frac{-(-a_0{b}_1)}{b_1}=a_0$$

因此 $A$ 稳定的充要条件是劳斯表第一列全为正，即：

$$a_2>0,a_0>0,\frac{a_1{a}_2-a_0}{a_2}>0⟹a_1{a}_2>a_0$$

(注：由于 $a_2,a_0>0$ 且 $a_1{a}_2>a_0$，这也隐含了 $a_1>0$)

定理 (不稳定性判据)：如果 $A$ 不稳定，且劳斯表第一列中的所有数字均非零，则 $A$ 的不稳定特征值（位于 ${\mathbb{C}}_{+}$ 中）的个数等于劳斯表第一列符号改变的次数。

本笔记使用 线性系统概念 与 线性系统稳定性 中的记号。

通常系统不一定用状态空间（$A,B,C,D$ 四个矩阵）表示，而是仅用传递函数 $G(s)$ 表示。

传递函数稳定性

传递函数稳定性依据：我们关心传递函数 $G(s)$ 的极点，因为 Inverse Laplace Transform 将频域的极点映射为了时域的指数增长/衰减项。对于 $G(s)$ 的极点 $p=\sigma +j\omega$

$${\mathcal{L}}^{-1}\left\{\frac{1}{s-p}\right\}=e^{pt}=e^{\sigma t}{e}^{j\omega t}.$$

• 震荡项 ($e^{j\omega t}$)：模长恒为 1 ($\cos \omega t+j\sin \omega t$)，只决定系统是震荡还是单调，不决定发散。
• 幅值包络 ($e^{\sigma t}$)：若 $\sigma <0$ 则 $e^{\sigma t}\to 0$，稳定。若 $\sigma >0$ 则 $e^{\sigma t}\to \infty$，不稳定。

定义(传递函数稳定性)：传递函数 $G$ 被称为稳定 (Stable)，如果它满足以下两个条件：

• 在开右半平面 ${\mathbb{C}}_{+}$ 上是有界 (Bounded) 的。
• 在开右半平面 ${\mathbb{C}}_{+}$ 上是解析 (Analytic) 的。

解析保证了有限复平面中无极点，有界保证了无穷远处无极点。

定理(稳定性判据)：若 $G(s)$ 是有理函数，则 $G$ 是稳定的，当且仅当：

• 它是真分式 (Proper)。
• 其所有极点 (Poles) 均位于开左半平面 ${\mathbb{C}}_{-}$。

证明：必要性 ($\Rightarrow$)：

• 若 $G(s)$ 稳定，则在 ${\mathbb{C}}_{+}$ 上有界。假设 $G(s)$ 不是真分式（即分子阶次 $>$ 分母阶次），则当 $|s|\to \infty$ 时，$|G(s)|\to \infty$，违反有界性条件。故 $G$ 必须是真分式。
• 若 $G(s)$ 在 ${\mathbb{C}}_{+}$ 内有极点，则不满足解析性。若 $G(s)$ 在虚轴 $i\mathbb{R}$ 上有极点 $i{\omega }_0$，则当 $s\to i{\omega }_0$ (从右侧) 时，$|G(s)|\to \infty$，违反有界性。故所有极点必须位于 ${\mathbb{C}}_{-}$。

充分性 ($\Leftarrow$)：

• 若极点均在 ${\mathbb{C}}_{-}$，则 $G(s)$ 在闭右半平面 $\overline{{\mathbb{C}}_{+}}$（包含虚轴）上无奇点，因此是解析的。
• 由于 $G(s)$ 是真分式，当 $|s|\to \infty$ 时，$|G(s)|$ 趋于常数（若严格真分式则趋于0）。由于 $G(s)$ 在 $\overline{{\mathbb{C}}_{+}}$ 上连续且在无穷远处有界，根据极值定理，它在整个 ${\mathbb{C}}_{+}$ 上是有界的。

注意：如果 $G$ 在虚轴 $i\mathbb{R}$ 上有极点，则当 $s$ 从右侧趋于该极点时 $|G(s)|\to \infty$，违反有界性，因此是不稳定的。

系统稳定性与传递函数稳定性

定理：如果 $\Sigma$ 是一个稳定的有限维 LTI 系统，则其传递函数 $G(s)$ 是稳定的。

证明：传递函数由 $G(s)=C(sI-A{)}^{-1}B+D$ 给定。其极点集合是矩阵 $A$ 特征值集合 $\sigma (A)$ 的子集。若 $\Sigma$ 稳定，则 $\sigma (A)\subset {\mathbb{C}}_{-}$，故 $G$ 的极点也均在 ${\mathbb{C}}_{-}$。

逆命题通常不成立：

• 如果 $A$ 不稳定，但由于零极点对消 (Pole-Zero Cancellation) 或系统存在不可控/不可观 (Uncontrollable/Unobservable) 模态，$G(s)$ 仍可能表现为稳定。
• 例外：对于最小实现 (Minimal Systems)（即既可控又可观的系统），逆命题成立：$G$ 稳定 $⟺\Sigma$ 稳定。

预备知识：电路建模物理基础

基本变量与符号：我们主要关注以下两个随时间 $t$ 变化的实值函数：

• 电流 (Current) $i(t)$：电荷流动的速率，单位为安培 (A)。
• 电压 (Voltage) $v(t)$：两点间的电势差，单位为伏特 (V)。

元件的伏安特性 (欧姆定律)：电路元件的物理特性决定了电压与电流之间的代数或微分关系。

$$v(t)=R\cdot i(t)$$

其中 $R>0$ 为电阻值。

电感 Inductor：电感是储存磁场能量的元件，具有“惯性”，阻碍电流的变化。其两端电压与流过电流的变化率成正比：

$$v(t)=L\cdot \frac{di(t)}{dt}=L\dot{i}(t)$$

其中 $L>0$ 为电感值。

由于 $L\dot{i}=v$，即 $\dot{i}=\frac{1}{L}v$，在状态空间模型中，通常选取流过电感的电流作为状态变量，以便通过电压来描述其导数。

电容 Capacitor：电容是储存电场能量的元件。流过电容的电流与电容两端电压的变化率成正比：

$$i(t)=C\cdot \frac{dv(t)}{dt}=C\dot{v}(t)$$

其中 $C>0$ 为电容值。

由于 $C\dot{v}=i$，即 $\dot{v}=\frac{1}{C}i$，在状态空间模型中，通常选取电容两端的电压作为状态变量，以便通过电流来描述其导数。

基尔霍夫电流定律, KCL：对于电路中的任意节点 (Node)，流入该节点的电流之和等于流出该节点的电流之和。

$$\sum i_{\text{in}}=\sum i_{\text{out}}\text{或}\sum _k{i}_k(t)=0$$

基尔霍夫电压定律, KVL：对于电路中的任意闭合回路 (Loop)，沿回路绕行一周，电压升高的代数和等于电压降低的代数和。

$$\sum v_{\text{rise}}=\sum v_{\text{drop}}\text{或}\sum _k{v}_k(t)=0$$

例子：电路系统的状态空间模型

问题描述：考虑一个包含电阻、电感、电容的电路网络。

• 输入 (Inputs)：电压源 $e$ 和 $v$。
• 输出 (Outputs)：电流 $i_1$ 和电压 $w$。
• 元件参数：$R_1,R_2,R_3$ (电阻), $L_1,L_2,L_3$ (电感), $C$ (电容)，假设所有参数均为正值 ($>0$)。

状态变量：选择电感中的电流和电容两端的电压作为状态变量（除非存在代数依赖，本例中不存在）。 定义状态向量 $x$、输入向量 $u$ 和输出向量 $y$ 如下：

$$x=\left[\begin{array}{c}{i}_1\\ i_2\\ z\\ i_3\end{array}\right],u=\left[\begin{array}{c}e\\ v\end{array}\right],y=\left[\begin{array}{c}{i}_1\\ w\end{array}\right]$$

其中 $z$ 是电容 $C$ 两端的电压，$i_1,i_2,i_3$ 分别为流过各支路的电流。

物理定律：根据基尔霍夫定律 (Kirchhoff's Laws) 及元件的伏安特性方程：

• $e-w=L_1{\dot{i}}_1+R_1{i}_1$
• $w-v=L_2{\dot{i}}_2$
• $w=z+R_2(i_1-i_2)$
• $i_1-i_2=C\dot{z}$
• $e=L_3{\dot{i}}_3+R_3{i}_3$

$$\{\begin{array}{ll}{L}_1{\dot{i}}_1& =-R_1{i}_1-R_2{i}_1+R_2{i}_2-z+e\\ L_2{\dot{i}}_2& =R_2{i}_1-R_2{i}_2+z-v\\ C\dot{z}& =i_1-i_2\\ L_3{\dot{i}}_3& =-R_3{i}_3+e\end{array}$$

同时，输出方程由 $y$ 的定义及代数关系 $w=z+R_2(i_1-i_2)$ 给出。

系统矩阵：将上述方程组写成标准状态空间形式 $\dot{x}=Ax+Bu$，$y=Cx+Du$，可得矩阵：

$$A=\left[\begin{array}{cccc}-\frac{R_1+R_2}{L_1}& \frac{R_2}{L_1}& -\frac{1}{L_1}& 0\\ \frac{R_2}{L_2}& -\frac{R_2}{L_2}& \frac{1}{L_2}& 0\\ \frac{1}{C}& -\frac{1}{C}& 0& 0\\ 0& 0& 0& -\frac{R_3}{L_3}\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{L_1}& 0\\ 0& -\frac{1}{L_2}\\ 0& 0\\ \frac{1}{L_3}& 0\end{array}\right]$$

$$C=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ R_2& -R_2& 1& 0\end{array}\right],D=\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right]$$

稳定性分析(特征多项式角度)：观察矩阵 $A$ 的块对角结构 (Block Diagonal Structure)，其特征多项式 $p(s)=\det (sI-A)$ 可分解为两个块的特征多项式之积：

$$p(s)=(s^3+a_2{s}^2+a_{1}s+a_0)\left(s+\frac{R_3}{L_3}\right)$$

其中系数为：

$$\begin{array}{rl}{a}_2& =\frac{R_1+R_2}{L_1}+\frac{R_2}{L_2}\\ a_1& =\frac{R_1{R}_2}{L_1{L}_2}+\frac{1}{L_{1}C}+\frac{1}{L_{2}C}\\ a_0& =\frac{R_1}{L_1{L}_{2}C}\end{array}$$

由于电路参数均为正值，显见 $a_0,a_1,a_2>0$ 且易证 $a_1{a}_2>a_0$。根据 Routh Test 可知矩阵 $A$ 是稳定的 (Stable)。

极小性分析 (Minimality)：计算传递函数 $G(s)$ 时，发现矩阵 $A$ 的最后一行/列、矩阵 $B$ 的最后一行以及矩阵 $C$ 的最后一列均对输入输出关系无贡献（Irrelevant）。

• 物理意义：状态 $i_3$（$L_3,R_3$ 支路）既不影响输出 $y$，也不影响其他状态变量。尽管输入 $e$ 驱动了 $i_3$，但该支路与其他部分完全解耦。
• 数学结论：包含 $i_3$ 的原 4 阶系统不是极小实现 (Not Minimal)。消除 $L_3,R_3$ 后得到的 3 阶子系统（状态为 $i_1,i_2,z$）是极小实现。

注：极小性对应于系统的能控性 (Controllability) 和能观性 (Observability)。本例中，$i_3$ 这一状态虽然可能是能控的（受 $e$ 影响），但对 $y$ 是不可观的，或者是与其他状态解耦而变得多余。若令 $R_1=0$，系统可能会变得不稳定，具体需进一步分析。

例子：DC Motor

标准反馈连接 (Standard Feedback Connection)

控制系统：下图为频域空间中的控制系统示意图，其中 $P$ 和 $C$ 表示频域空间的传递函数（关于 $s$ 的有理分式）。即 $s$ 表示 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}$，$1/s$ 表示 $\int \mathrm{d}t$。

反馈结构：考虑两个传递函数为 $P$ (Plant, 被控对象) 和 $C$ (Controller, 控制器) 的线性 SISO 系统的反馈连接。根据方框图，系统方程可写作（假设零初始条件）：

$$\left[\begin{array}{c}\hat{d}\\ \hat{r}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& -C\\ P& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\hat{u}\\ \hat{e}\end{array}\right]$$

• $d$: 作用在被控对象上的扰动 (disturbance)
• $u$: 被控对象的输入信号 (input)
• $y$: 被控对象的输出信号 (output)
• $r$: 参考信号 (reference signal)
• $e$: 跟踪误差 (tracking error), $e=r-y$
• $\hat{d},\hat{r},\hat{u},\hat{e}$ 等均表示对应变量的拉普拉斯变换

证明：被控对象的输入 $u$ 由扰动 $d$ 和控制器输出 $Ce$ 叠加而成

$$\hat{u}=\hat{d}+C\hat{e}⟹\hat{d}=\hat{u}-C\hat{e}$$

误差 $e$ 定义为参考信号 $r$ 与输出 $y$ ($=Pu$) 之差。

$$\hat{e}=\hat{r}-P\hat{u}⟹\hat{r}=P\hat{u}+\hat{e}$$

将上述整理后的两式写成矩阵形式：

$$\left[\begin{array}{c}\hat{d}\\ \hat{r}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& -C\\ P& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\hat{u}\\ \hat{e}\end{array}\right]$$

只有在频域空间中才能被写为这样简单的代数系统，在时域中 $P,C$ 都是复杂的 ODE。

传递函数：为了求解内部信号 $\hat{u}$ 和 $\hat{e}$，我们需要对系数矩阵求逆：

$$\left[\begin{array}{c}\hat{u}\\ \hat{e}\end{array}\right]={\left[\begin{array}{cc}1& -C\\ P& 1\end{array}\right]}^{-1}\left[\begin{array}{c}\hat{d}\\ \hat{r}\end{array}\right]$$

计算 $2\times 2$ 矩阵的逆（注意 SISO 系统中 $PC=CP$）：

$${\left[\begin{array}{cc}1& -C\\ P& 1\end{array}\right]}^{-1}=(1+PC{)}^{-1}\left[\begin{array}{cc}1& C\\ -P& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}(1+PC{)}^{-1}& C(1+PC{)}^{-1}\\ -P(1+CP{)}^{-1}& (1+PC{)}^{-1}\end{array}\right]$$

反馈连接的稳定性：被控对象 $P$ 本身往往是不稳定的（例如战斗机、磁悬浮列车），我们设计控制系统的目的就是用控制器 $C$ 去把一个不稳定的 $P$ 变稳定

稳定性分析与零极点对消

当我们把整个控制系统当作一个整体时，我们可能会忽略掉 $P$ 和 $C$ 的一些内部作用，而导致系统爆炸。比如 $P$ 是一个高压锅，$C$ 是阀门，正常运作时 $C$ 能检测到所有压力升高的信号从而打开阀门放气，但如果 $C$ 的某个零点导致了其忽视了 $P$ 的某个爆炸极点，这样控制系统就失效了。

定义(零极点对消)：若复数 $z$ 同时满足以下情况，则称在乘积 $PC$ 处发生了 $z$ 点的零极点对消：

• $z$ 是 $P$ 的极点（或 $C$ 的极点）；
• $z$ 是 $C$ 的零点（或 $P$ 的零点）。

直观理解：【$P$ 极点 - $C$ 零点】表示对象要爆炸，控制器在装瞎；【$P$ 零点 - $C$ 极点】系统对输入不理会，输出端毫无变化时，控制器无限加强。

定义(对消的稳定性)：若 $z\in {\mathbb{C}}_{-}$（左半平面），称该对消是稳定的。若 $z\notin {\mathbb{C}}_{-}$（如在虚轴或右半平面），称该对消是不稳定的。

直观理解：【左半平面对消】表示系统本身是稳定的，就算装瞎不去控制它，它也不会爆炸；【右半平面对消】表示系统本身就不稳定，还装瞎不去控制，就会直接爆炸。

定理(稳定性充要条件)：$P$ 和 $C$ 的反馈连接是稳定的，当且仅当满足以下两个条件：

• 灵敏度函数稳定：$(1+PC{)}^{-1}$ 是稳定的。
• 无不稳定对消：乘积 $PC$ 中不存在不稳定的零极点对消 (pole-zero cancellation)。

证明：设 $P(s)$ 和 $C(s)$ 的既约分式表示（互质多项式之比）为：

$$P(s)=\frac{N_p(s)}{D_p(s)},C(s)=\frac{N_c(s)}{D_c(s)}$$

闭环传递函数矩阵的四个元素在通分后的公共分母（即系统的特征多项式）为：

$$\Delta (s)=D_p(s)D_c(s)+N_p(s)N_c(s)$$

四个传递函数具体形式为：

$$\begin{array}{rlr}& H_{11}=(1+PC{)}^{-1}=\frac{D_p{D}_c}{\Delta },& H_{12}=C(1+PC{)}^{-1}=\frac{D_p{N}_c}{\Delta }\\ & H_{21}=-P(1+PC{)}^{-1}=\frac{-N_p{D}_c}{\Delta },& H_{22}=(1+PC{)}^{-1}=H_{11}\end{array}$$

必要性 ($\Rightarrow$)：若系统稳定，则四个 $H_{ij}$ 均稳定。条件 1 显然成立，因为 $H_{11}$ 即为 $(1+PC{)}^{-1}$。假设条件 2 不成立，即存在不稳定对消点 $\lambda \in {\mathbb{C}}_{\ge 0}$。不妨设 $\lambda$ 是 $P$ 的极点 ($D_p(\lambda )=0$) 且是 $C$ 的零点 ($N_c(\lambda )=0$)。 此时特征多项式 $\Delta (\lambda )=0\cdot D_c+N_p\cdot 0=0$，即 $\lambda$ 是特征方程的根。 考查 $H_{21}=\frac{-N_p{D}_c}{\Delta }$：由于 $P$ 是既约的，$D_p(\lambda )=0⟹N_p(\lambda )\ne 0$；同理 $C$ 既约 implies $D_c(\lambda )\ne 0$。 因此，$H_{21}$ 的分子在 $\lambda$ 处不为 0，而分母为 0。这意味着 $H_{21}$ 有一个不稳定的极点 $\lambda$，系统不稳定。这与假设矛盾，故条件 2 必须成立。

充分性 ($\Leftarrow$)：若条件 1 和 2 成立。由条件 1，$(1+PC{)}^{-1}=\frac{D_p{D}_c}{\Delta }$ 稳定，说明 $\Delta (s)$ 中所有的不稳定根（若存在）必须被 $D_p{D}_c$ 中的零点所抵消。假设 $\Delta (s)$ 仍有一个不稳定根 $\lambda$。由上一步知，必须有 $D_p(\lambda )D_c(\lambda )=0$。若 $D_p(\lambda )=0$：代入 $\Delta (\lambda )=0$ 的方程，得 $N_p(\lambda )N_c(\lambda )=0$。因 $P$ 既约，$N_p(\lambda )\ne 0$，故必有 $N_c(\lambda )=0$。这构成了“$P$ 极点与 $C$ 零点”的不稳定对消，与条件 2 矛盾。若 $D_c(\lambda )=0$：同理可推得 $N_p(\lambda )=0$，构成“$C$ 极点与 $P$ 零点”的不稳定对消，与条件 2 矛盾。

因此，$\Delta (s)$ 不可能存在不稳定根。特征多项式稳定意味着矩阵中所有传递函数均稳定。

例 1 (稳定对消)：$P$ 有极点 $s=-1$，$C$ 有零点 $s=-1$。在 $z=-1$ 处存在对消。由于 $-1\in {\mathbb{C}}_{-}$，这是一个稳定的对消。虽然 $C(s)$ 本身在 $\pm i$ 处有极点（临界稳定），但对消本身是良态的。

$$P(s)=\frac{s}{(s+1)(s-2)},C(s)=\frac{5(s+1)}{s^2+1}$$

例 2 (不稳定对消)：$P$ 的极点为 $\pm i$，$C$ 的零点为 $\pm i$。在 $z=i$ 和 $z=-i$ 处存在对消。由于这些点不在左半平面，属于不稳定的零极点对消。因此，该反馈连接不稳定。

$$P(s)=\frac{2s}{s^2+1},C(s)=\frac{s^2+1}{(s+2)(s+100)}$$

例 3 (不稳定组件构成稳定系统)：$PC=\frac{3s}{(s-1{)}^2}$。虽然 $P$ 和 $C$ 都不稳定（极点在 $1$），但在 $PC$ 中没有发生零极点对消（$P$ 的零点是 $0$，极点是 $1$；$C$ 无零点，极点是 $1$）。分母 $s^2+s+1$ 的根实部为负，故该传递函数稳定。反馈连接是稳定的。

$$P(s)=\frac{3s}{s-1},C(s)=\frac{1}{s-1}$$

$$(1+PC{)}^{-1}=\frac{1}{1+\frac{3s}{(s-1{)}^2}}=\frac{(s-1{)}^2}{(s-1{)}^2+3s}=\frac{s^2-2s+1}{s^2+s+1}$$

术语与控制目标 (Terminology & Goals)

• 环路增益 (Loop Gain): $L(s)=P(s)C(s)$
• 灵敏度函数 (Sensitivity Function): $S(s)=(1+P(s)C(s){)}^{-1}$
• 控制目标：我们需要在存在扰动 $d$ 的情况下实现良好的跟踪（即 $y\approx r$），使误差 $e$ 尽可能小。误差方程可由之前的矩阵方程导出：

$$\hat{e}=-P(1+PC{)}^{-1}\hat{d}+(1+PC{)}^{-1}\hat{r}=-PS\hat{d}+S\hat{r}$$